Exercícios Resolvidos de Otimização

Ver Teoria

Enunciado

Determine a área máxima possível de um triângulo retângulo de hipotenusa A = 6 c m .

Passo 1

Como queremos a área máxima possível, temos um problema de otimização!

Nosso primeiro passo sempre é organizar as informações que temos do enunciado e, sempre que possível, fazer um desenho.

Queremos a área máxima de um triângulo retângulo (onde um dos ângulos é 90 ° ) com hipotenusa de 6   c m . Podemos chamar os dois catetos desconhecidos de x e y , com isso temos:

Como queremos otimizar a área, vamos escrever uma função pra ela usando a fórmula de área dos triângulos:

A = x ∙ y 2

Passo 2

Os problemas de otimização são resolvidos com derivada, pra isso precisamos reescrever a função área como uma função de uma só variável.

Como temos um triângulo retângulo, podemos usar o teorema de Pitágoras para relacionar os valores desconhecidos x e y :

x 2 + y 2 = 6 2

y 2 = 36 - x 2

y = 36 - x 2

Vamos substituir essa relação lá na função área que escrevemos:

A x = x ∙ 36 - x 2 2

Passo 3

Com a função escrita só em termos de x já podemos derivar, mas pra facilitar um pouco, vamos reorganizar um pouco as coisas...

Primeiro, colocando o x pra dentro da raiz, que pra isso fica ao quadrado:

A x = x 2 ∙ ( 36 - x 2 ) 2

A x = 36 x 2 - x 4 2

Vamos lembrar também que toda raiz pode ser reescrita como x = x 1 2 , temos então:

A x = 1 2 ∙ 36 x 2 - x 4 1 2

Bora derivar!

Temos uma função dentro de outra, então precisamos usar a regra da cadeia: vamos derivar a função de fora, que no caso é o expoente 1 2 , e multiplicar pela derivada da função de dentro ( 36 x 2 - x 4 ) :

A ' ( x ) = 1 2 ∙ 1 2 ∙ 36 x 2 - x 4 1 2 - 1 ∙ ( 36 x 2 - x 4 ) '

Já aplicamos a regra do tombo fora, agora aplicamos dentro:

A ' x = 1 4 ∙ 36 x 2 - x 4 - 1 2 ∙ ( 72 x - 4 x 3 )

Podemos descer o segundo termo trocando o sinal do expoente:

A ' x = 1 4 ∙ 72 x - 4 x 3 36 x 2 - x 4 1 2

Por fim, vamos reescrever a raiz:

A ' x = 1 4 ∙ 72 x - 4 x 3 36 x 2 - x 4

Eu sei, ficou uma coisa horrível... Mas eu te prometo que daqui pra frente vai tudo ficar mais simples!

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, nossos candidatos a máximo da função, precisamos igualar a derivada a zero.

Trazendo nosso monstrinho, temos:

1 4 ∙ 72 x - 4 x 3 36 x 2 - x 4 = 0

O 1 / 4 some quando passamos pro outro lado, que vai continuar sendo zero

72 x - 4 x 3 36 x 2 - x 4 = 0

Independente do que temos no denominador, uma fração vai ser zero quando seu numerador for zero, então pra gente só vai importar:

72 x - 4 x 3 = 0

Viu? Muito mais simples!

Dividindo a expressão por x , temos:

72 - 4 x 2 = 0

72 = 4 x 2

x 2 = 72 4 = 18

x = 18

Prontinho, achamos o valor de um dos lados do triângulo que gera a área máxima!

Passo 5

Agora, vamos substituir na nossa relação de Pitágoras para encontrar o y :

y = 36 - x 2

y = 36 - 18 2 = 36 - 18

y = 18

Passo 6

Finalmente, pra encontrar a área máxima substituímos os dois lados na fórmula da área:

A = x ∙ y 2

A = 18 ∙ 18 2

A = 18 2 = 9 c m 2

Resolvido!

Resposta

A = 9 c m 2