Exercícios Resolvidos de Otimização

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Enunciado

Deseja-se fabricar um recipiente cilíndrico com tampa com capacidade volumétrica de 1200 c m 3 . O material destinado à lateral do recipiente custa R $   10,00 o c m 2 enquanto o material destinado ao fundo custa R $   15,00 o c m 2 . Determine a altura e o raio do recipiente de modo que o custo de fabricação seja minimizado.

Passo 1

Bom, vamos começar desenhando um recipiente cilíndrico com suas dimensões principais o raio ( r ) e a altura ( h ) :

O volume do cilindro é dado pela fórmula:

V = π ∙ r 2 ∙ h = 1200 c m 3

Além disso, temos os custos: a parte lateral, mais escura no desenho, custa R $ 10,00 / c m 2 , podemos calcular essa área da seguinte forma

A L A T = 2 π r ∙ h

Enquanto a tampa e a base custam R $ 15,00 / c m 2 e tem sua área dada por:

A B A S E = π r 2

Passo 2

Como queremos minimizar o custo da fabricação do recipiente, precisamos de uma função que represente esse custo. Vamos encontrar essa função pela soma das áreas multiplicadas pelos seus custos respectivos:

C = 2 π r ∙ h ∙ 10 + 2 ∙ π r 2 ∙ 15

Obs.: Lembrando que temos base e tampa, por isso essa área entra multiplicada por 2

Simplificando a função, temos:

C = 20 π r h + 30 π r 2

Passo 3

Vamos precisar da função com apenas uma variável para derivar, pra isso, vamos usar a relação do volume:

V = π ∙ r 2 ∙ h = 1200 c m 3

Podemos isolar o h :

h = 1200 π r 2

Agora, substituímos na função custo:

C r = 20 π r ∙ 1200 π r 2 + 30 π r 2

C r = 24000 π r π r 2 + 30 π r 2

C r = 24000 r + 30 π r 2

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos críticos, vamos derivar a função custo usando a regra do peteleco:

C r = 24000 ∙ r - 1 + 30 π r 2

C ' r = - 1 ∙ 24000 ∙ r - 1 - 1 + 30 ∙ 2 ∙ π r 2 - 1

C ' r = - 24000 r 2 + 60 π r

E então, igualar a derivada a zero:

- 24000 r 2 + 60 π r = 0

60 π r = 24000 r 2

r 3 = 24000 60 π

r = 400 π 3 ≅ 5 c m

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a altura usando a relação do volume lá do Passo 3:

h = 1200 π r 2

h = 1200 π ∙ 5 2 = 1200 25 π ≅ 15,3 c m

Resposta

A s   d i m e n s õ e s   ó t i m a s   s ã o : r = 5 c m   e   h = 15,3 c m