Exercícios Resolvidos de Otimização

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Enunciado

Um fazendeiro tem 2400 m de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa cercar o lado do terremo que ficará a margem do rio. Quais são as dimensões que ele deve usar para obter um campo com a maior área possível, podendo ser cercando com a quantidade de cerca disponível?

(a) 400 por 1200

(b) 600 por 1000

(c) 600 por 400

(d) 600 por 1200

(e) 600 por 2000

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Dá uma olhadinha no desenho aqui pra entender melhor:

Ali temos o campo, de lados a   e   b sendo que em um dos lados medindo a temos a margem do rio.

Queremos saber quais sãos os valores de a   e   b , nessas condições, para que o campo tenha área máxima. Vem comigo!

Passo 2

A questão nos disse que o fazendeiro tem 2400 m de cerca, e a quantidade de cerca de um campo retangular é dado pelo perímetro (soma dos lados) dele.

Nesse caso vamos somar os lados com exceção do lado à margem do rio. Temos:

P = a + b + b

Como temos 2400 m de cerca, nosso perímetro deverá ser:

2400 = a + 2 b

Vamos colocar a e função de b :

a = 2400 - 2 b

Ok, encontramos uma relação entre os dois lados do campo. Guarda isso por enquanto!

Passo 3

A gente quer encontrar a área máxima, sendo que área do campo é dada por:

A = a ∙ b

Mas, a gente achou ali em cima que:

a = 2400 - 2 b

Bora jogar isso no lugar de de a na expressão da área, então?

A = 2400 - 2 b ⋅ b

Fazendo a distributiva:

A ( b ) = 2400 b - 2 b 2

Encontramos a expressão da área em função de b 😊

Passo 4

Como queremos encontrar a maior área possível, vamos maximizar essa função:

A ( b ) = 2400 b - 2 b 2

Pra achar o ponto máximo dela, vamos encontrar onde a derivada dá zero. Vamos derivar usando a regra do Tombo:

A ' ( b ) = 2400 - 2 ⋅ 2 b 2 - 1

A ' ( b ) = 2400 - 4 b

Passo 5

Ótimo! Agora vamos ver onde essa derivada zera:

2400 - 4 b = 0

- 4 b = - 2400

4 b = 2400

b = 2400 4

b = 600

Show! Achamos o valor de b que faz com que a área seja máxima!

Passo 6

Importante conferir se o ponto que encontramos é mesmo um ponto de máximo, pra isso vamos derivar a função área mais uma vez:

A ' ( b ) = 2400 - 4 b

A ' ' b = - 4

O teste da segunda derivada nos diz o seguinte:

Como encontramos uma segunda derivada negativa, o ponto b = 600 é um ponto de máximo!

Passo 7

Pra achar o valor da dimensão a é mais fácil, porque a gente já viu que:

a = 2400 - 2 b

E como b = 600 , temos:

a = 2400 - 2 ( 600 )

a = 2400 - 1200

a = 1200

Show de bola!

Então para que tenha área máxima, nessas condições, o campo deve medir 600   por 1200 😉

Resposta

L e t r a   ( d )