Exercícios Resolvidos de Otimização

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Enunciado

O produto de dois números inteiros e positivos resulta em 100. Quais são esses números, sabendo que sua soma resulta no menor valor possível?

Passo 1

Olááá! Tudo certinho?

Do enunciado, vemos que nosso objetivo aqui é encontrar dois números desconhecidos que geram o menor resultado possível quando somados.

“O menor resultado possível” é a dica que o problema nos dá pra sacar que se trata de um problema de otimização!

Nosso primeiro passo nesses problemas sempre é organizar as informações que o enunciado tá passando! Então bora lá!

Vamos chamar os dois números desconhecidos de x e y , então, se o produto entre os dois resulta em 100 , podemos dizer que:

x ∙ y = 100

Como queremos que a soma seja o menor possível, é dela que surge a função que vamos otimizar. Escrevendo uma função pra soma, temos:

S = x + y

Passo 2

Como resolvemos os problemas de otimização usando derivadas, queremos que nossa função dependa de só uma variável, pra isso, vamos reescrever a expressão do produto de um jeito que possamos substituir na função soma e tirar uma das variáveis.

Olha:

x ∙ y = 100 → y = 100 x

Que substituindo na função, resulta em:

S x = x + 100 x

Agora nossa função tá prontinha pra ser derivada!

Passo 3

Podemos reescrever a função usando a propriedade onde subimos ou descemos a potência na fração trocando o sinal do expoente:

S x = x + 100 ∙ x - 1

Desse jeito, fica mais fácil usar a regra do peteleco pra derivar: x n ' = n ∙ x n - 1

S ' x = 1 ∙ x 1 - 1 + 100 ∙ - 1 ∙ x - 1 - 1

S ' x = 1 - 100 ∙ x - 2

Mais uma vez com a propriedade das potências, temos:

S ' x = 1 - 100 x 2

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos da função, que são nossos candidatos a mínimo da função, vamos igualar a derivada a zero e resolver a equação:

1 - 100 x 2 = 0

1 = 100 x 2

x 2 = 100 1 = 100

x = 100 = ± 10

Temos então dois candidatos: x = 10 e x = - 10

Passo 5

Como o enunciado especifica que os números são inteiros e positivos, podemos descartar o x = - 10 .

Vamos testar x = 10 pra ter certeza que de fato temos um ponto de mínimo. Pra isso, precisamos da segunda derivada da função.

S ' x = 1 - 100 ∙ x - 2

Derivando mais uma vez, temos:

S ' ' x = 0 - 100 ∙ - 2 ∙ x - 2 - 1

S ' ' x = 200 x - 3 = 200 x 3

Testando quando x = 10 , temos:

S ' ' 10 = 200 10 3 = 200 1000 = 0,2

O critério do teste da segunda derivada é o seguinte:

Como encontramos um resultado positivo, x = 10 é um ponto de mínimo, exatamente como queríamos!

Passo 6

Pra encerrar, precisamos encontrar também o valor de y , já que a questão pede os dois números!

Podemos substituir x = 10 lá na primeira expressão que escrevemos pro produto igual a 100 :

y = 100 x = 100 10 = 10

Prontinho!

Resposta

O s   d o i s   n ú m e r o s   s ã o   10   e   10 .