Exercícios Resolvidos de Otimização

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Enunciado

Uma pessoa dispõe de 900 m de arame para cercar um terreno retangular. Utilizando o conceito de derivada, determine as dimensões deste terreno para que o mesmo apresente área máxima.

Passo 1

Beleza, a princípio temos um terreno com a seguinte cara:

O que o problema quer que a gente descubra, são os valores de x e de y que fazem com que ele tenha a maior área possível. Então vamos descobrir quem é a função que descreve a área e encontrar os valores de x e de y que fazem seu valor ser máximo, pra isso usaremos os conceitos de derivada que estamos estudando.

O enunciado nos afirma que o cercado em preto é de 900 m . Ou seja, o seu perímetro, que é a soma de todos os lado, é:

2 x + 2 y = 900

Podemos simplificar essa expressão, dividindo tudo por 2 . Isso vai facilitar os nossos cálculos mais à frente.

  x + y   =   450

Agora vamos falar sobre a área desse terreno. Ela é a multiplicação de um lado pelo outro, certo? Então

A = x ∙ y

Mas derivar uma função com duas variáveis não vai rolar por agora, então podemos isolar o y lá na expressão do perímetro, ficando com

y = 450 - x

Agora é só substituir isso na expressão da área:

A = x ∙ 450 - x

  A x = 450 x - x 2

Prontinho, achamos a função que descreve a área desse terreno.

Passo 2

Para encontrarmos a maior área possível, vamos procurar o valor máximo da função área que a gente acabou de encontrar no passo anterior. Pra isso precisamos fazer a primeira derivada dela e depois igualar a zero. Lembra que pra acharmos os valores de máximos e mínimos nós fazemos a primeira derivada igual a zero? Então...isso que faremos agora.

Mãos a obra!

A x = 450 x - x 2

A ' x = 450 ( x ) ' - ( x 2 ) '

A ' ( x ) = 450 - 2 x

Achamos a derivada. Agora vamos igualar a zero e encontrar o valor de x nesse ponto....

450 - 2 x = 0

2 x = 450

x = 450 2 = 225   m

Passo 3

Para ter certeza que o ponto que encontramos é de máximo mesmo, podemos fazer o teste da segunda derivada.

Pra isso, vamos derivar mais uma vez a função área:

A ' ( x ) = 450 - 2 x

A ' ' x = - 2

O critério do teste diz que:

Como a segunda derivada que encontramos é negativa, temos um ponto de máximo!

Passo 4

Agora vamos atrás do valor de y .

Como vimos antes

y = 450 - x

Substituindo x = 225 :

y = 450 - 225

y = 225   m

Ou seja, esse nosso retângulo será na verdade um quadrado com lado 225 m , tendo a maior área possível de ser cercada com a quantidade de arame disponível.

Resposta

Q u a d r a d o   c o m   l a d o   225   m