Exercícios Resolvidos de Otimização

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Enunciado

Um campo retangular à margem de um rio deve ser cercado com exceção do lado ao longo do rio. Se o custo do material for de R $   12 / m no lado paralelo ao rio e de R $   8 / m nos dois extremos, ache o campo de maior área que possa ser cercado com R $ 3.600 de materiais.

Passo 1

Deve-se desenhar o problema e anotar as condições dadas, o que é super importante para um melhor entendimento do problema.

Bom, comecei desenhando esse caso aí:

A área do retângulo, que é o formato do campo, vai ser dada por:

A = a ⋅ b

Passo 2

Temos que escrever equações que relacionam as variáveis do problema. Nesse passo, podem ser necessários conhecimentos básicos de geometria, trigonometria, etc.

Temos como limitante aquele preço de R $ 3.600 . Bom, se custa R $   12 / m a cerca do lado paralelo e R $   8 / m a dos outros dois, posso criar um custo, estando a e b em metros, dado por essa equação:

C a , b = 12 a + 2 ∙ 8 b

Repara que são dois lados de comprimento b e um lado a . Como ele diz que esse custo é fixo em R $ 3.600 , ficamos assim:

12 a + 16 b = 3600

Passo 3

Analisando as equações, chegamos na função que desejamos otimizar em função de apenas uma variável.

Vamos isolar o b na nossa expressão do custo:

12 a + 16 b = 3600

16 b = 3600 - 12 a

b = 3600 - 12 a 16

Juntando a última equação à da área, temos:

A a = a ∙ 3600 - 12 a 16

A a = 3600 a - 12 a 2 16

A ( a ) = 225 a - 3 a 2 4

Passo 4

Agora derivamos essa função e achamos os pontos críticos.

Se eu procuro o ponto crítico da área, ou seja, a maior possível, devo derivar essa função:

A ' a = 225 - 6 a 4

Então, igualamos a zero para encontrar os pontos críticos, que são nossos candidatos a máximo:

225 - 6 a 4 = 0

6 a 4 = 225

a = 225 ∙ 4 6 = 150

Passo 5

Analisamos os pontos críticos encontrados para garantir que sejam máximo ou mínimo.

Como a derivada é fácil de calcular, é melhor derivar de novo e aplicar o teste da segunda derivada.

A ' ' a = - 6 4

Como a segunda derivada é negativa, esse é um ponto de máximo.

Obs.: Caso achemos mais de um ponto crítico, temos que testá-los na função para ver qual deles é melhor (que dá um valor de máximo maior ou um valor de mínimo menor). Mas como não há outros pontos críticos a calcular, então, próximo passo!

Passo 6

Pegamos o ponto crítico obtido e comparamos com os valores na fronteira da função. O melhor valor de todos será o valor ótimo.

Olhando para função área:

A a = 225 a - 3 a 2 4

Vemos que o menor valor para a é zero, uma vez que é uma medida. O maior é a → ∞ .

Para zero, a área é zero e inútil pro que queremos.

Para a → ∞ :

lim a → ∞ ⁡ 225 a - 3 a 2 4 = - ∞

O que também não é aplicável. Dessa maneira a = 150 é um ponto de máximo global, onde:

A 150 = 225 150 - 3 150 2 4 = 16875 m 2

Eu sei que ficou feio, mas esse é nosso resultado.

Resposta

A = 16.875 m 2