Exercícios Resolvidos de Otimização

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Enunciado

Um pedaço de papel retangular é usado para construir uma caixa sem tampa, pra isso corta-se quadrados iguais de cada canto do papel. O papel retangular possui 8 centímetros de largura por 15 centímetros de comprimento. Determine o volume máximo para tal caixa.

  1. Aproximadamente 90,74;
  2. Exatamente 60;
  3. Aproximadamente 80;
  4. Aproximadamente 50;
  5. Nenhuma das respostas anteriores.

Passo 1

Vamos pensar no nosso retângulo, o enunciado nos mostra que ele é assim ó

O enunciado nos disse que ele vai recortar quadrados nos quatro cantos, então teremos o seguinte:

Vamos chamar os lados dos quadrados que serão cortados de x , com isso, as medidas na folha são:

O volume dessa caixa, será:

V = A l t u r a   × C o m p r i m e n t o   × L a r g u r a

Se você for observar bonitinho aquele desenho, vai ver que a altura vale x , certo? A largura dela vale ( 8 - 2 x ) e o comprimento vale ( 15 - 2 x ) , então agora é substituir isso aí na nossa fórmula do volume.

V = x 8 - 2 x 15 - 2 x

Resolvendo as multiplicações, teremos:

V x = ( 8 x - 2 x 2 ) ( 15 - 2 x )

V ( x ) = 4   x 3 -   46   x 2 + 120   x

Passo 2

Como ele pediu o maior volume possível da caixa, teremos que achar o valor máximo da função volume.

Para encontrarmos os pontos de máximo e mínimo, vamos fazer a primeira derivada e igualar ela a zero! Grava isso...máximo e mínimo, primeira derivada igual a zero

Derivando, teremos:

V ( x ) = 4   x 3 -   46   x 2 + 120   x

Observa que a derivada da soma é igual a soma das derivadas, certo? Então

V ' ( x ) = ( 4   x 3 -   46   x 2 + 120   x ) '

V ' ( x ) = 4 (   x 3 ) ' -   46   ( x 2 ) ' + 120 (   x ) '

Observa que deixei todas as constantes de fora da derivada.

Agora é só derivar tudo aí. Vamos lembrar a derivada de polinômio?

x n ' = n x n - 1

Então

V ' x =   4 ( 3 x 2 ) -     46 ( 2   x 1 ) +   120 ( 1 )  

V ' ( x ) = 12 x 2 -   92 x + 120

Agora vamos igualar isso a zero e encontrar as raízes

12 x 2 -   92 x + 120 = 0

Resolvemos essa equação do segundo grau pra ver onde que ela vale zero. Primeiro vem nosso delta

Δ = b 2 - 4 a c

x 0 = - b ± Δ 2 a

Detalhe, no nosso caso temos

a x 2 + b x + c = 0

a = 12 ,     b = - 92 ,     c = 120

Vamos jogar nas fórmulas, então. Primeiro calculando o delta

Δ = - 92 2 - 4 12 120

= 8464 - 5760

= 2704

x 0 = 92 ± 2704 2 × 12 = 92 ± 52 24

Ou seja, temos duas raízes:

x 0 1 = 92 + 52 24 = 5 3

x 0 2 = 92 - 52 24 = 6

Beleza, agora precisamos ver qual das duas nos dá o maior e o menor volume possível...

Vamos substituir esses valores na expressão que encontramos para o volume, essa aqui ó:

V ( x ) = 4   x 3 -   46   x 2 + 120   x

Primeiro o x 1 :

V 5 3 = 4 ∙ 5 3 3 -   46 ∙ 5 3 2 + 120 ∙ 5 3

V 5 3 = 500 27 - 1150 9 + 200

V 5 3 ≅ 90,74   c m 3

Fazendo o x 2 :

V 6 = 4   6 3 -   46   6 2 + 120   6

V 6 = 864 - 1656 + 720

V 6 = - 72   c m 3

Esse obviamente, vamos descartar porque não faz sentido termos um volume negativo!

Sendo assim, o volume é proximo de 90,74   c m 3 ! Letra A!

Resposta

L e t r a   ( a )