Exercícios Resolvidos de Otimização

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Enunciado

Uma folha de papelão com 0,6 m 2 de área será utilizada para confeccionar um cartaz. As margens livres do topo e da base do cartaz devem ter 25 c m e as laterais, 15 c m . Determine as dimensões da folha de modo que a área útil seja máxima.

Passo 1

Como queremos que a área útil seja máxima, temos um problema de otimização.

Vamos começar organizando os dados e montando um esquema!

É bem importante nessa questão entender bem a diferença entre a área total, que é de 0,6 m 2 , e a área útil, que é o que queremos otimizar. Dá uma olhada:

Chamei as medidas da folha de x e y , já que não as conhecemos.

A área total, que inclui as margens, pode ser calculada da seguinte forma:

A T = x ∙ y = 0,6 m 2

Se considerarmos só a parte laranja, temos a área útil, que é essa parte do meio que desconsidera as margens e é calculada por:

A U = ( x - 2 ∙ 0,15 ) ( y - 2 ∙ 0,25 )

A U = ( x - 0,3 ) ( y - 0,5 )

Subtraímos duas vezes a medida da margem lateral do x e duas vezes a medida da margem da base do y . Essa função que precisamos otimizar!

Obs.: Pra colocar as medidas das margens na fórmula eu converti de cm para m dividindo por 100.

Passo 2

Agora precisamos reescrever a função pra derivar, pra isso, podemos usar a relação da área total:

x ∙ y = 0,6 m 2

y = 0,6 x

Substituindo na função de área útil:

A U x = x - 0,3 0,6 x - 0,5

Vamos fazer as multiplicações:

A U x = 0,6 ∙ x x - 0,5 ∙ x + 0,6 ∙ - 0,3 x - 0,5 ∙ ( - 0,3 )

A U x = 0,6 - 0,5 x - 0,18 x + 0,15

A U x = 0,75 - 0,5 x - 0,18 x

Enfim, nossa função tá prontinha pra ser derivada!

Passo 3

Pra derivar, vamos usar a regra do peteleco, então fica mais fácil ver a função como:

A U x = 0,75 - 0,5 x - 0,18 x - 1

Derivando, temos:

A U ' x = 0 - 0,5 ∙ 1 ∙ x 1 - 1 - 0,18 ∙ - 1 ∙ x - 1 - 1

A U ' ( x ) = - 0,5 + 0,18 x 2

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, que são nossos candidatos a máximo da função, precisamos igualar a derivada a zero e resolver a equação:

- 0,5 + 0,18 x 2 = 0

0,18 x 2 = 0,5

x 2 = 0 , 18 0 , 5

Vamos multiplicar essa fração para encontrar valores inteiros e mais fáceis de seguirmos com as contas:

Temos, então:

x 2 = 9 25

x = 9 25 = 9 25 = ± 3 5

Como estamos falando de medidas, não faz sentido ter valores negativos, então já podemos desconsiderar x = - 3 / 5 .

Temos então a área útil máxima quando x = 3 / 5 = 0,6 m !

Passo 5

Pra encerrar, vamos determinar o y correspondente. Pra isso, vamos usar a relação da área total:

y = 0,6 x = 0,6 3 5 = 0,6 ∙ 5 3 = 3 3 = 1 m

Prontinho!

Resposta

x = 0,6 m       e       y = 1 m