Considere um fluido cuja densidade varia com a pressão como ρ =   C p , onde C é uma constante conhecida, sujeito a uma aceleração da gravidade uniforme   g → =   - g z ^ . Supondo conhecida a pressão p0 no fundo do recipiente (z = 0), a pressão em um ponto arbitrário do fluido pode ser escrita como:

(a) p 0 - C g z

(b) p 0 + C g z

(c) p 0 e C g z

(d) p 0 e - C g z

(e) p 0 ln ⁡ C g z

Passo 1

Repare que nessa questão a densidade varia com a pressão! Por isso não podemos sair aplicando o princípio de Stevin (aquele que p = ρ g h ) porque a densidade é variável! Teremos que INTEGRAR!

A pressão num pedacinho de ar a uma altura h é dado por

d p = ρ g d h

De forma que vamos usar a fórmula:

d p d z = - ρ g

Isso por que a pressão diminui com a altura!

E vamos trocar esse ρ pelo que a questão deu. Então vai ficar:

d p d z = - C p g

d p p = - C g   d z

Vamos fazer umas contas agora! Integrar esses caras.

∫ p 0 p d p p = - ∫ 0 z C g   d z

Repare que eu to integrando de zero (fundo do recipiente) até um ponto arbitrário de altura z. A pressão eu to integrando da pressão no fundo do recipiente ( p 0 ) até a pressão que eu quero descobrir. Resolvendo isso:

ln ⁡ p p 0 = - C g z

p p 0 = e - C g z

p = p 0 e - C g z

Isso nos dá a alternativa d).

Resposta

Letra D.

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