Uma corda muito longa é mantida tensa e, por ela, se propaga uma onda transversal, cujos deslocamentos verticais são dados por:

y ( x , t ) = c a 2 + ( x - b t ) 2

onde a , b e c são constantes positivas. Considere que, no equilíbrio, a corda se encontra na horizontal ao longo do eixo x . A figura que representa corretamente a configuração da corda no instante t = 0 e as velocidades dos pontos A , B , C e D da corda é:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Passo 1

As velocidades da figura são referentes às velocidades transversais dos pontos. Então, o que devemos fazer? Bora calcular uma expressão pra velocidade transversal desse pulso, através da derivada:

v y = ∂ y x , t ∂ t

E vamos aplicar à equação:

y x , t = c a 2 + x - b t 2

Passo 2

Aqui você vai precisar lembrar da regra da cadeia. Simbora:

v y = - c a 2 + x - b t 2 2 . a 2 + x - b t 2 ' = 2 b c x - b t a 2 + x - b t 2 2

Notou? Aplicamos a regra da cadeia ali.

Passo 3

Agora que temos uma expressão pra velocidade, podemos avaliar o sinal dela para cada x ( afinal de contas, o gráfico varia em função de x ) .

Vamos analisar a função para um tempo fixo t = 0 e determinar as regiões onde ela é positiva, vetor velocidade apontando para cima, e negativa, vetor velocidade apontando para baixo.

Passo 4

Para a região negativa, teremos:

2 b c x - b t a 2 + x - b t 2 2 < 0

Como o denominador é sempre positivo, podemos dizer que:

2 b c x - b t < 0

E como as constantes b e c são positivas:

x - b t < 0

Como estamos analisando em t = 0 :

x - 0 < 0 → x < 0

Ou seja, a velocidade transversal vai ser negativa quando x for negativo.

O que nos leva a perceber que o contrário também é facilmente descoberto: A velocidade transversal vai ser positiva quando o x for positivo.

Ou seja:

v y < 0 → x < 0

v y > 0   → x > 0

A resposta correta é:

a)

Resposta

a)

Exercícios Resolvidos de Pulso Não-Harmônico

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