Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

A derivada da função f ( x ) =   t a n ² ( x )   é:

  1. 2 . t a n ( x ) . s e c ² ( x )
  2. 2 . c o s ( x ) . s e c ² ( x )
  3. 2 . t a n ² ( x ) . s e c ² ( x )
  4. s e n ( x ) . c o s ² ( x )
  5. 2 . s e c ² ( x )

Passo 1

Beleza, pessoal! Essa é uma questão onde precisamos derivar a tangente ao quadrado. Você pode estranhar a primeira vista! Aprendemos a derivar x 2 , mas ainda não aprendemos a derivar tan 2 ⁡ x . É aí que você se engana! Nós já conseguimos derivar essa função trigonométrica, se a gente lembrar que:usando:

f x = tan 2 ⁡ x = tan ⁡ x ⋅ tan ⁡ x

Se a gente lembrar que que o expoente 2quando elevamos algo ao quadrado, significa que vamos multiplicar ele por ele mesmo significa que o termo aparece na multiplicação 2 vezes, a gente converte uma exponenciação em uma multiplicação!o que era um potência vira uma multiplicação.

E pra dDerivar uma multiplicação éa gente já sabe! É só seguir a regra do produto!

Usaremos a regra do produto no próximo passo.

Passo 2

Antes de lembrar da regra do produto, vamos dar nomes aos dois termos da multiplicação.

f x = tan ⁡ x ⏞ g ⋅ tan ⁡ x ⏞ h

Ou seja, chamamos a primeira tangente de g e a segunda tangente de h .

g = tan ⁡ x

h = tan ⁡ x

Depois dar nomes a cada termo da multiplicaçãoFizemos isso porque agora, nós podemos escrever a regra do produto, que tem esse formatinho aqui: ela diz que a derivada de f x vale:

f ' x = g ' ⋅ h + g ⋅ h '

Traduzindo: A derivada da nossa função é igula a derivada de g vezes h mais g vezes a derivada de h .

Lembre-se que usamos o símbolo   '   (também chamado de apóstrofo) para representar as derivadas! Logo:

g ' = tan ⁡ x '       ⟶       d e r i v a d a   d o   p r i m e i r o   t e r m o   d a   m u l t i p l i c a ç ã o

h = tan ⁡ x       ⟶       s e g u n d o   t e r m o   d a   m u l t i p l i c a ç ã o

g = tan ⁡ x       ⟶       p r i m e i r o   t e r m o   d a   m u l t i p l i c a ç ã o

h ' = tan ⁡ x '       ⟶       d e r i v a d a   d o   s e g u n d o   t e r m o   d a   m u l t i p l i c a ç ã o

Isso quer dizer Já sabemos que é g   e quem é h , agora que precisamos calcular quanto vale as derivadas de g e h para resolver a questão! No passo seguinte vamos calcular isso!

Passo 3

Como g = tan ⁡ x , a A derivada de g é a derivada da tangente! Para lembrar das derivadas das funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente, etc.), podemos usar a imagem abaixo.

Pela imagem nós vemos que a derivada da tangente é secante ao quadrado:

g ' = tan ⁡ x '       ⟹       g ' = sec 2 ⁡ x

E como h = tan ⁡ x , aA derivada de h também é a derivada da tangente. Ou seja:

h ' = tan ⁡ x '       ⟹       h ' = sec 2 ⁡ x

Nós já calculamos a derivada de cada termo da multiplicação. Na última etapa da questão, vamos aprender a substituir todas essas derivadas na fórmula de da derivada de f ' x .

Passo 4

Substiutindo g , g ' , h e h ' na regra do produto, achamos:

f ' x = g ' ⋅ h + g ⋅ h '

f ' x = sec 2 ⁡ x ⋅ tan ⁡ x + tan ⁡ x ⋅ sec 2 ⁡ x

A equação acima é a soma de dois termos iguais. Por causa disso:

f ' x = 2 ⋅ tan ⁡ x ⋅ sec 2 ⁡ x

Ou seja, a resposta certa é a opção (aa).

Resposta

Letra (aa)