A derivada da função é:
Passo 1
Beleza, pessoal! Essa é uma questão onde precisamos derivar a tangente ao quadrado. Você pode estranhar a primeira vista! Aprendemos a derivar , mas ainda não aprendemos a derivar . É aí que você se engana! Nós já conseguimos derivar essa função trigonométrica, se a gente lembrar que:usando:
Se a gente lembrar que que o expoente 2quando elevamos algo ao quadrado, significa que vamos multiplicar ele por ele mesmo significa que o termo aparece na multiplicação 2 vezes, a gente converte uma exponenciação em uma multiplicação!o que era um potência vira uma multiplicação.
E pra dDerivar uma multiplicação éa gente já sabe! É só seguir a regra do produto!
Usaremos a regra do produto no próximo passo.
Passo 2
Antes de lembrar da regra do produto, vamos dar nomes aos dois termos da multiplicação.
Ou seja, chamamos a primeira tangente de e a segunda tangente de .
Depois dar nomes a cada termo da multiplicaçãoFizemos isso porque agora, nós podemos escrever a regra do produto, que tem esse formatinho aqui: ela diz que a derivada de vale:
Traduzindo: A derivada da nossa função é igula a derivada de vezes mais vezes a derivada de .
Lembre-se que usamos o símbolo (também chamado de apóstrofo) para representar as derivadas! Logo:
Isso quer dizer Já sabemos que é e quem é , agora que precisamos calcular quanto vale as derivadas de e para resolver a questão! No passo seguinte vamos calcular isso!
Passo 3
Como , a A derivada de é a derivada da tangente! Para lembrar das derivadas das funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente, etc.), podemos usar a imagem abaixo.
Pela imagem nós vemos que a derivada da tangente é secante ao quadrado:
E como , aA derivada de também é a derivada da tangente. Ou seja:
Nós já calculamos a derivada de cada termo da multiplicação. Na última etapa da questão, vamos aprender a substituir todas essas derivadas na fórmula de da derivada de .
Passo 4
Substiutindo , e na regra do produto, achamos:
A equação acima é a soma de dois termos iguais. Por causa disso:
Ou seja, a resposta certa é a opção (aa).
Resposta
Letra (aa)