Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

Encontre f ' ( x ) e f ' ' ( x ) .

  f x = x 3 + e x

Passo 1

Opa! Vamos ver mais essa derivada aqui😊

Queremos encontrar f ' ( x ) e f " ( x ) dado f x = x 3 + e x .

Como a gente tem duas um quociente de funções sendo divididas, vamos usar a regra do Quociente, que é assim:

g h ' = g ' ⋅ h - g ⋅ h ' h 2

Onde aqui a gente pode chamar:

g = x

h = 3 + e x

Passo 2

Vamos precisamos fazer as derivadas de g e h agora:

Para g = x , vamos lembrarlembrando da regra do tombo:

g ' = 1 ⋅ x 1 - 1

g ' = x 0

g ' = 1

E pra h = 3 + e x , vamos lembrar que a derivada de uma constante é zero, e a derivada da exponencial é ela mesma:

h ' = 0 + e x

h ' = e x

Beleza! Já temos tudo que precisávamos. Vamos montar a Regra do Quociente agora!

Passo 3

g h ' = g ' ⋅ h - g ⋅ h ' h 2

Substituindo...

f ' x =   1 ⋅ 3 + e x - x e x 3 + e x 2

Multiplicando ali em cima:

f ' x = 3 + e x - x e x 3 + e x 2

Pronto! Essa é a primeira derivada!

Passo 4

Vamos pra segunda derivada agora! A gente vai usar a regra do quociente de novo, vamos derivar essa aqui:

f ' x = 3 + e x - x e x 3 + e x 2

g = 3 + e x - x e x

h = 3 + e x 2

Vamos calcular cada derivada dessas então...

Passo 5

Essa aqui primeiro:

g = 3 + e x - x e x

Aqui a gente tem uma constante, uma exponencial e um produto. Vamos derivar cada pedacinho:

g ' = 3 ' + e x ' - x e x '

g ' = 0 + e x - x e x '

Vamos ver esse pedacinho aqui: x e x ' . Aqui temos um produto, então a gente aplica a regra do produto:

x e x ' = x ' ⋅ e x + x ⋅ e x '

= 1 ⋅   e x + x e x = e x + x e x

Juntando tudo, nossa derivada de g é:

g ' = e x - e x + x e x

g ' = e x - e x - x e x

g ' = - x e x

Beleza! Essa já foi... vamos pra h !

Passo 6

Agora vamos pra essa aqui:

h = 3 + e x 2

Vamos reescrever assim:

h = 3 + e x ( 3 + e x )

Aqui vamos aplicar a Regra do Produto: f ⋅ g ' = f ' ⋅ g + f ⋅ g '

h ' = 3 + e x ' 3 + e x + 3 + e x 3 + e x '

h ' = e x 3 + e x + 3 + e x e x

h ' = 2 e x 3 + e x

Prontinho! Mais uma derivada pronta! Vamos jogar isso tudo na regra do Quociente agora...

Passo 7

Pra relembrar: a gente achou:

g = 3 + e x - x e x       e     g ' = - x e x

h = 3 + e x 2     e   h ' = 2 e x 3 + e x

Vamos substituir isso aqui agora:

g h ' = g ' ⋅ h - g ⋅ h ' h 2

f ' ' x = - x e x 3 + e x 2 - 3 + e x - x e x 2 e x 3 + e x ( 2 e x 3 + e x ) 3 + e x 2 2  

Ficou feio né? Vamos dar uma resolvida nessas multiplicações ali pra ver se fica melhor. Repara que temos dois grandes termos no denominador, e que o ( 3 + e x ) está nos dois::

Também resolvemos a parte do denominador que possuía uma potência de uma potência, então repetimos a base e multiplicamos o expoente.

Repara agora que temos ( 3 + e x ) , multiplicando e dividindo, então podemos cortar um de cima com um de baixo, ficando com:

f ' ' x = - x e x ( 3 + e x ) - 3 + e x - x e x 2 e x 3 + e x 3

Agora vamos resolver as multiplicações do numerador:

f ' ' x = 3 + e x - x e x 3 + e x - 2 e x 3 + e x - x e x 3 + e x 4

Organizado:

f ' ' x = - 3 x e x - x e x - 6 e x - 2 e 2 x + 2 x e 2 x 3 + e x 3 4  

Agora, podemos juntar os temos que forem semelhantes:

f ' ' x = - 3 x e x + x e 2 x - 6 e x - 2 e 2 x 3 + e x 3

E... finalmente chegamos em f ' ' ( x ) !

Prontinho! Calculamos f ' x     e   f ' ' ( x ) 😊

Resposta

f ' x = 3 + e x - x e x 3 + e x 2

f ' ' x = - 3 x e x + x e 2 x - 6 e x - 2 e 2 x 3 + e x 3