Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

Encontre f ' ( x ) e f ' ' ( x ) .

f x = x 5 2 e x

Passo 1

Olá! Vamos ver mais essa derivada aqui?

Devemos achar a primeira derivada e a segunda derivada da função f .

Repare que a função f é um produto entre o x 5 2 e o e x , então podemos usar a regra do Produto.

Pra lembrar, a regra do produto é assim:

g ⋅ h ' = g ' ⋅ h + g ⋅ h '

Passo 2

Pra usar essa regra temos que definir quem é g e quem é h . Podemos chamar assim:

g = x 5 2

h = e x

Nós vamos precisar também das derivadas, g ' e h ' . Então, vamos derivar cada uma agora...

Passo 3

Pra derivar g , vamos usar a regra do Tombo, que é assim:

x n ' = n ⋅ x n - 1

Aplicando em g , fica assim:

g = x 5 2

g ' = 5 2 x 5 2 - 1

Precisamos fazer essa subtração com fração ali no denominador. Mas pra isso, as frações precisam ter o mesmo denominador, então vamos escrever o 1 como sendo 2 2 .

g ' = 5 2 x 5 2 - 2 2

Como as frações agora ficaram como o mesmo denominador, podemos subtrair em cima e repetir embaixo e ficará assim:

g ' = 5 2 x 3 2

Beleza, derivamos g !

Passo 4

A nossa h é uma exponencial, olha só:

h = e x

A derivada da exponencial é a própria exponencial, ou seja:

h ' = e x

Show! Bora montar nossa regra do produto então!

Passo 5

Sendo:       g = x 5 2 ,     h = e x ,       g ' = 5 2 x 3 2 e       h ' = e x

g ⋅ h ' = g ' ⋅ h + g ⋅ h '

f ' x = 5 2 x 3 2 ⋅ e x + x 5 2 ⋅ e x

Encontramos uma soma entre dois termos e nos dois aparece o e x , então podemos colocar ele em evidência na frente dos parênteses:

f ' x = e x 5 2 x 3 2 + x 5 2

Prontinho! Essa é a primeira derivada! Vamos ver a outra?

Passo 6

Para acharmos f ' ' ( x ) , calculamos a derivada de f ' ( x ) . Pra isso vamos usar a regra do produto de novo, do mesmo jeitinho que fizemos ali em cima...

f ' ' x = e x 5 2 x 3 2 + x 5 2 '

Vamos nomear novamente nossas funções chamando:

g = e x

h = 5 2 x 3 2 + x 5 2

e vamos derivar g e h .

Passo 7

A derivada de e x é a própria e x , assim:

g ' = e x

Agora h ' , será feita com a regra do tombo também:

h = 5 2 x 3 2 + x 5 2

h ' = 5 2 . 3 2 x 3 2 - 1 + 5 2 x 5 2 - 1

= 15 4 x 3 2 - 2 2 + 5 2 x 5 2 - 2 2

= 15 4 x 1 2 + 5 2 x 3 2

Beleza, mais uma derivada pronta!

Passo 8

Vamos substituir essas derivadas na nossa regra do produto:

f ' ' x = g ' ⋅ h + g ⋅ h '

= e x 5 2 x 3 2 + x 5 2 + e x 15 4 x 1 2 + 5 2 x 3 2

Colocando o e x em evidência:

f ' ' x = e x x 5 2 + 5 x 3 2 + 15 4 x 1 2

E pronto! Essa é a segunda derivada de f ( x ) .

Calculamos então f ' x     e   f ' ' ( x ) ! 😊

Resposta

f ' x = 5 2 x 3 2 + x 5 2 e x e f ' ' x = x 5 2 + 5 x 3 2 + 15 4 x 1 2 e x