Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

Ver Teoria

Enunciado

Derive a função

R t = ( t + e t ) ( 3 - t )

Passo 1

Olá! Bora resolver mais essa?

Queremos derivar essa função R ( t ) e ela é formada por uma multiplicação. Daí a gente já sabe que vamos ter que usar a regra do Produto, certo?

Só pra relembrar, a regra do Produto é assim:

f ⋅ g ' = f ' ⋅ g + f ⋅ g '

Sendo que o “   ' “ representa a derivada da função😉

Passo 2

Vamos definir agora quem é f e quem é g . A ordem não importa, mas vamos chamar assim:

R t = ( t + e t ) ⏟ f ( 3 - t ) ⏟ g

Então temos:

f = t + e t

g = 3 - t

Show! Agora vamos derivar cada uma dessas, porque na regra do produto precisaremos de f ' e g ' ...

Passo 3

Derivando f ...

Temos que f é uma soma entre uma potência e uma exponencial. A gente pode derivar cada termo e manter a soma. Potência e exponencial a gente já aprendeu a derivar, lembra? Vai ficar assim:

f = t + e t

f ' = 1 ⋅ t 1 - 1 + e t

f ' = t 0 + e t

Como qualquer coisa elevada a zero dá um:

f ' = 1 + e t

Beleza, já derivamos f !

Passo 4

Vamos derivar g agora. Veja que, podemos escrever t como t 1 2   usando essa regrinha aqui:

Com isso, podemos escrever g assim:

g =   3 - t 1 2

Agora derivamos. Derivada de constante é zero e a t 1 2 a gente deriva usando a regra da Potência (ou regra do Tombo)...

t 1 2 ' = 1 2 t 1 2 - 1

g ' = 0 - 1 2 t 1 2 - 1

Essa subtração de fração no expoente a gente vai ter que colocar com frações de denominadores iguais, assim transformamos o 1 em 2 2 :

1 2 - 1 → 1 2 - 2 2 =   - 1 2

E então nossa derivada é:

g ' = - 1 2 t - 1 2

Que a gente ainda pode jogar em forma de raiz e descer pro denominador (por causa do expoente negativo, a gente inverte):

g ' = - 1 2 t

Ufaa! Derivamos g ! Agora vamos montar nossa Regra do Produto...

Passo 5

Voltando pra nossa derivada principal, vamos montar a regra do Produto, sendo:

f = t + e t

g = 3 - t

f ' = 1 + e t

g ' = - 1 2 t

Substituindo todo mundo:

f ⋅ g ' = f ' ⋅ g + f ⋅ g '

R ' t = 1 + e t 3 - t + t + e t - 1 2 t  

E aí a gente pode fazer essas multiplicações, usando a distributiva (multiplica cada termo de um parênteses por cada termo do outro), pra deixar a derivada mais arrumadinha...

R ' t = 3 - t + 3 e t - e t t - t 2 t - e t 2 t

E pronto! Essa é a nossa derivada😉

Resposta

R ' t = 3 - t + 3 e t - e t t - t 2 t - e t 2 t