Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

Seja

f x = 1 + x 1 - x

A derivada calculada para x = 1 / 3 corresponde a:

(a) 3

(b) 2 / 3

(c) 9 / 2

(d) 1 / 3

(e) 2

Passo 1

Opa, galera, prestem atenção no enunciado, porque dessa vez não precisamos apenas derivar f x . Precisamos também substituir x por 1 / 3 depois que a gente derivar f x ! E o resultado dessa substituição é que será a resposta da questão!

Esse é mais um exercício que o x aparece em cima e embaixo da divisão! Sabemos que nesses exercícios, antes de começar a derivar uma função com divisão, temos que dar nomes para cada termo. Assim a gente se organiza melhor para quando for derivar.

Vamos chamar o termo de cima da fração de g e o termo debaixo de h .

g = 1 + x

h = 1 - x

Usando g e h podemos reescrever f x .

f x = 1 + x 1 - x = g h

Mas como dar nomes ao termo de uma divisão pode organizar a resolução da questão?

Passo 2

Para derivar uma divisão, usamos uma regra chamada de regra do quociente.

A gente deu nome a cada parte da divisão no passo 1 para escrever a regra do quociente de um jeito mais fácil agora. Abaixo a gente pode ver a cara dessa regra.

f ' x = g ' ⋅ h - g ⋅ h ' h 2

Lembre-se que usamos o símbolo   '   (chamado de apóstrofo) para representar as derivadas! Ou seja, f ' x é a derivada de f x , g ' é a derivada de g e h ' é a derivada de h !

Como g ' e h ' estão presentes na regra do quociente, precisamos calcular as derivadas de g e h para achar f ' x .

Passo 3

Nesse passo, vamos calcular quanto vale a derivada de g .

g = 1 + x .Mas não precisamos derivar x e 1 ao mesmo tempo. Podemos calcular a derivada de cada um e só depois somar as duas para achar g ' .

g ' = 1 + x ' = 1 ' + x '

O 1 e um número constante. Como a derivada de constantes vale zero, a derivada de um é nula!

1 ' = 0

Já para derivar x usamos a regra do peteleco. Nessa regra, o expoente de x leva um peteleco e cai na frente de x . Além disso, o expoente deixa pra trás ele mesmo menos 1.

E qual é o expoente de x para a gente aplicar essa regra?

x é igual a x 1 . Isso quer dizer que seu expoente vale 1 .

x = x 1

Logo, sua derivada é:

x ' = 1 ⋅ x 1 - 1 = 1 ⋅ x 0 = 1 ⋅ 1 = 1

Somando as duas derivadas achamos quanto vale g ' .

g ' = 1 ' + x ' = 0 + 1 = 1

Passo 4

Nesse passo, temos que calcular quanto vale a derivada de h .

h = 1 - x , bem parecido com o de cima, né! Podemos, aqui também, calcular a derivada de 1 e x separadamente e só depois juntar as duas para achar h ' .

h ' = 1 - x ' = 1 ' - x '

No entanto, nós já calculamos quanto vale a derivada de 1 e x no passo anterior.

1 ' = 0

x ' = 1

Juntando as duas derivadas achamos quanto vale h ' .

h ' = 1 ' - x ' = 0 - 1 = - 1

Passo 5

Já temos tudo pra substituir na regra do quociente:

g = 1 + x

h = 1 - x

g ' = 1

h ' = - 1

Agora vamos substituir   para calcular f ' x !

f ' x = g ' ⋅ h - g ⋅ h ' h 2

f ' x = 1 ⋅ 1 - x - 1 + x ⋅ ( - 1 ) 1 - x 2

Ajustando as multiplicações:

f ' x = 1 - x - - 1 - x 1 - x 2

Esse menos na frente do segundo parênteses altera o sinal de todo mundo que está lá dentro Assim, tirando os parênteses teremos:

f ' x = 1 - x + 1 + x 1 - x 2

Podemos cancelar o x negativo com o positivo ficando com:

f ' x = 2 1 - x 2

E já tá bonito. Mas calma, porque ainda não acabamos! Ainda temos que substituir o x por 1 / 3 ! Lembra?

Passo 6

Nesse passo vamos valcular o valor da derivada para x = 1 / 3 . Para fazer isso, vamos substituir x por 1 / 3 na equação de f ' x que encontramos no passo anterior.

f ' x = 2 1 - x 2

f ' 1 3 = 2 1 - 1 3 2

Para fazer a conta de 1 - 1 3 , temos que colocar 1 no mesmo denominador que 1 3 .

Fazemos isso escrevendo o 1 como 3 3 . Podemos fazer isso porque 3 3 = 1 . Assim:

1 - 1 3

3 3 - 1 3

Agora que os denominadores são iguais, nos resolvemos em cima e repetimos embaixo:

3 - 1 3 = 2 3

Substituindo esse valor na fórmula, achamos:

f ' 1 3 = 2 2 3 2

Aqui nós temos que elevar 2 3 ao quadrado! Você se lembra como podemos fazer isso?

Para elevar uma fração ao quadrado, elevamos a parte de cima e a parte debaixo ao quadrado separadamente.

2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9

Substituindo isso na equação:

f ' 1 3 = 2 4 9

Útima coisa! Prometo!

Chegamos da divisão de 2 por 4 9 . Para fazer essa conta, mantemos o 2 igual e multiplicamos ele pelo inverso de 4 9 que vale 9 4 .

f ' 1 3 = 2 4 9

2 ⋅ 9 4 = 9 2

E esse é o resultado final. Ou seja, agora é só marcar a letra (c) e comemorar!

Resposta

Letra (c).