Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

Derive a função y = x + 1 x ³ + x - 2

Passo 1

Opaa! Vamos derivar essa função que é formada por um quociente entre polinômios. Pra isso a gente vai usar a regra do Quociente, que é dessa forma aqui:

f g ' =   f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

Onde “   ' ” significa a derivada da função.

Vamos definir o que é o que nessa fórmula...

Passo 2

A gente pode ver a função dessa forma aqui:

y = x + 1 x ³ + x - 2 = f g

E daí, podemos chamar:

f = x + 1

e

g = x 3 + x - 2

Agora a gente derivar essas duas pra encontrar o f ' e o g ' que também aparecem na fórmula.

Passo 3

Vamos primeiro em f ...

f = x + 1

Isso aqui a gente já sabe derivar né? É só a gente derivar cada termo e manter a soma. Lembrando que derivada de constante é zero!

f ' = 1 ⋅ x 1 - 1 + 0

f ' = x 0

f ' = 1

Beleza! Já derivamos f ! Guarda isso por enquanto...

Passo 4

Vamos derivar g agora! Da mesma forma que derivamos a f , e pra isso vamos usar a regra do peteleco:

x n ' = n x n - 1

g = x 3 + x - 2

g ' = 3 x 3 - 1 + 1 ⋅ x 1 - 1 + 0

g ' = 3 x 2 + x 0

g ' = 3 x 2 + 1

Prontinho! Derivada de g encontrada com sucesso!

Passo 5

Bora montar nossa regra do Quociente agora:

f g ' =   f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

y ' = 1 x 3 + x - 2 - ( x + 1 ) ( 3 x 2 + 1 ) x 2 + x - 2 2

Beleza! Agora a gente pode resolver essas multiplicações em cima pra ver se conseguimos simplificar alguma coisa!

Passo 6

Multiplicando em cima ali a gente tem:

y ' =   x 3 + x - 2 - 3 x 3 - x - 3 x 2 - 1 x 2 + x - 2 2

Aqui podemos juntar todos os termos semelhantes, que são os que tem a mesma potência, vamos ficar com:

y ' = - 2 x 3 - 3 x 2 - 3 x 2 + x - 2 2

Como todos os termos que estão em cima são negativos, podemos colocar esse menos na frente da fração, e deixar em cima só o sinal de mais

y ' = - 2 x 3 + 3 x 2 + 3 ( x ³ + x - 2 ) ²

E prontinho! Essa é a nossa derivada😉

Resposta

y ' = - 2 x 3 + 3 x 2 + 3 ( x ³ + x - 2 ) ²