Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

Derive a função y = e x x 2

Passo 1

Essa derivada pode parecer difícil porque tem essa letra " e " nela. Mas o que ela significa? Ela é uma constante muito comum em problemas de cálculo e física. É um número que vale aproximadamente 2,718 .

e ≅ 2,718

Mas não precisamos nos preocupar com ele não, pois sempre vamos usar a própria letrinha e em nossas soluções.

Agora a função y é composta por uma divisão. Nesse caso, como fazemos para derivar?

Pra ajudar a gente a derivar uma divisão, temos que dar nomes para cada termo que aparece ali. Com isso a derivada vai ficar mais organizada. Vamos chamar o termo de cima da fração de f e o termo debaixo de g .

f = e x

g = x 2

Usando f e g podemos reescrever y da seguinte forma:

y = e x x 2 = f g

Mas como dar nomes ao termo de uma divisão pode organizar a resolução da questão?

Veremos isso no próximo passo!

Passo 2

Para derivar uma divisão entre funções (divisão que tem x embaixo e em cima), usamos uma regra chamada de regra do quociente.

No passo anterior, a gente deu nome a cada termo da divisão, isso porque a regra do quociente é feita usando esse formato aqui:

y ' = f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

Lembre-se que usamos o símbolo   '   (chamado de apóstrofo) para representar as derivadas! Ou seja, y ' é a derivada de y , f ' é a derivada de f e g ' é a derivada de g !

Isso significa que precisamos calcular as derivadas de f e g para achar y ' .

No próximo passo, vamos calcular quanto f ' e g ' valem!

Passo 3

Nesse passo, temos que calcular quanto vale a derivada de f e a derivada de g .

Vamos começão por f ! f é a função exponencial e x que é a mais fácil de derivar! A derivada de e x é a própria exponencial e x .

f ' = e x ' = e x

Vamos deixar ela anotadinha aqui que já já a gente vai usar.

Essa foi tranquila, né? E a derivada de x 2 ? Você se lembra como derivar?

É através da regra do peteleco! Nessa regra, o expoente “cai” na frente do x e deixa pra trás ele mesmo menos 1 .

x n ' = n x n - 1

Aplicando essa regra em x 2 , temos que:

g ' = x 2 ' = 2 x 2 - 1 = 2 x 1 = 2 x

Pronto! Achamos quanto vale f ' e quanto vale g ' .

Agora só falta substituir esses dois termos na regra do quociente para calcular y ' .

Passo 4

Substituindo f , f ' , g e g ' na regra do quociente.

y ' = f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

E vai ficar assim:

y ' = e x ⋅ x 2 - e x ⋅ 2 x x 2 2

Que equação enorme! Ainda por cima tem um x 2 2 embaixo dela! Vamos arrumar isso?

Sempre que tiver um número sendo elevado duas vezes, repetimos a base e multiplicamos seus expoentes!

x 2 2 = x 2 ⋅ 2 = x 4

Substituindo isso na equação de y ' :

y ' = e x ⋅ x 2 - e x ⋅ 2 x x 4

Essa equação ainda está enorme! Podemos simplificar y ' . No próximo passo faremos isso!

Passo 5

Perceba que “ e x ” multiplica o termo “ x 2 ” e o termo “ - 2 x ” da equação, então podemos dizer que ele é um fator comum. Por conta disso, podemos colocar “ x 2 ” e “ - 2 x ” dentro de um parênteses e deixar “ e x ” fora para mostrar que e x multiplicam esses dois termos ao mesmo tempo. Chamamos isso de “colocar o e x em evidência”

y ' = e x ⋅ x 2 - e x ⋅ 2 x x 4       ⟹       y ' = e x ⋅ x 2 - 2 x x 4

Se olharmos com mais cuidado, vamos ver que isso também está acontecendo com o x . Dentro dos parênteses temos o x elevado a 2 , que indica que o x está sendo multiplicado 2 vezes.

x 2 = x ⋅ x

Assim, a gente consegue reescrever a equação de y ' .

y ' = e x ⋅ x 2 - 2 x x 4       ⟹       y ' = e x ⋅ x ⋅ x - 2 x x 4

Agora nós vemos que o termo “ x ” está presente nos dois termos que estão dentro do parênteses. Logo, também podemos colocar o “ x ” em evidência e mostrar que ele multiplica esses dois termos ao mesmo tempo.

y ' = e x ⋅ x ⋅ x - 2 x x 4       ⟹       y ' = e x ⋅ x ⋅ x - 2 x 4

Com isso fora do parênteses, ficamos com “ x ” em cima e embaixo. Isso quer dizer que podemos simplificar o x de cima com o x 4 que está em baixo .

Pra isso vamos pensar que x 4 = x . x . x . x , então vamos cortar um de cima com um de baixo.

y ' = e x ⋅ x ⋅ x - 2 x 4      

y ' = e x ⋅ x ⋅ x - 2 x . x . x . x      

      y ' = e x ⋅ x - 2 x 3

Pronto! Aqui nós paramos, pois não podemos simplificar mais que isso. Assim nós derivamos e achamos uma versão mais simples de y ' !

Resposta

y ' = e x ⋅ x - 2 x 3