Derive a função
Passo 1
Essa derivada pode parecer difícil porque tem essa letra nela. Mas o que ela significa? Ela é uma constante muito comum em problemas de cálculo e física. É um número que vale aproximadamente .
Mas não precisamos nos preocupar com ele não, pois sempre vamos usar a própria letrinha em nossas soluções.
Agora a função é composta por uma divisão. Nesse caso, como fazemos para derivar?
Pra ajudar a gente a derivar uma divisão, temos que dar nomes para cada termo que aparece ali. Com isso a derivada vai ficar mais organizada. Vamos chamar o termo de cima da fração de e o termo debaixo de .
Usando e podemos reescrever da seguinte forma:
Mas como dar nomes ao termo de uma divisão pode organizar a resolução da questão?
Veremos isso no próximo passo!
Passo 2
Para derivar uma divisão entre funções (divisão que tem embaixo e em cima), usamos uma regra chamada de regra do quociente.
No passo anterior, a gente deu nome a cada termo da divisão, isso porque a regra do quociente é feita usando esse formato aqui:
Lembre-se que usamos o símbolo (chamado de apóstrofo) para representar as derivadas! Ou seja, é a derivada de , é a derivada de e é a derivada de !
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de e para achar .
No próximo passo, vamos calcular quanto e valem!
Passo 3
Nesse passo, temos que calcular quanto vale a derivada de e a derivada de .
Vamos começão por ! é a função exponencial que é a mais fácil de derivar! A derivada de é a própria exponencial .
Vamos deixar ela anotadinha aqui que já já a gente vai usar.
Essa foi tranquila, né? E a derivada de ? Você se lembra como derivar?
É através da regra do peteleco! Nessa regra, o expoente “cai” na frente do e deixa pra trás ele mesmo menos .
Aplicando essa regra em , temos que:
Pronto! Achamos quanto vale e quanto vale .
Agora só falta substituir esses dois termos na regra do quociente para calcular .
Passo 4
Substituindo , , e na regra do quociente.
E vai ficar assim:
Que equação enorme! Ainda por cima tem um embaixo dela! Vamos arrumar isso?
Sempre que tiver um número sendo elevado duas vezes, repetimos a base e multiplicamos seus expoentes!
Substituindo isso na equação de :
Essa equação ainda está enorme! Podemos simplificar . No próximo passo faremos isso!
Passo 5
Perceba que “” multiplica o termo “” e o termo “” da equação, então podemos dizer que ele é um fator comum. Por conta disso, podemos colocar “” e “” dentro de um parênteses e deixar “” fora para mostrar que multiplicam esses dois termos ao mesmo tempo. Chamamos isso de “colocar o em evidência”
Se olharmos com mais cuidado, vamos ver que isso também está acontecendo com o . Dentro dos parênteses temos o elevado a , que indica que o está sendo multiplicado 2 vezes.
Assim, a gente consegue reescrever a equação de .
Agora nós vemos que o termo “” está presente nos dois termos que estão dentro do parênteses. Logo, também podemos colocar o “” em evidência e mostrar que ele multiplica esses dois termos ao mesmo tempo.
Com isso fora do parênteses, ficamos com “” em cima e embaixo. Isso quer dizer que podemos simplificar o de cima com o que está em baixo .
Pra isso vamos pensar que , então vamos cortar um de cima com um de baixo.
Pronto! Aqui nós paramos, pois não podemos simplificar mais que isso. Assim nós derivamos e achamos uma versão mais simples de !