Considere o problema abaixo que representa o comportamento de duas espécies(com densidades populacionais x(t) e y(t) ).

dx / dt = x | 1, 5 - 0,5y

dy/dt = y (-0,5 + x)

  1. Determine as singularidades e classifique-as.
  2. Suponha que as populações iniciais em um laboratório sejam x(0) = 2 e y(0) = 4 . Interprete a evolução das populações no tempo t .

Passo 1

Resolvendo a letra a)

Pra encontrar singularidades, devemos fazer:

d x d t = d y d t = 0

E resolvendo o sistema:

x 1,5 - 0,5 y = 0

y - 0,5 + x = 0

Encontraremos os pontos:

( 0,0 ) ,   1 2 , 3

Passo 2

Pra classificar as singularidades, devemos construir a matriz jacobiana J ( x , y ) e avalia-la em cada singularidade.

J x , y = 1,5 - 0,5 y - 0,5 x y - 0,5 + x

Pra 0,0 :

J 0,0 = 1 , 5 0 0 - 0,5

Teremos que:

D e t J 0,0 = - 0,75 < 0

E portanto 0,0 é uma sela hiperbólica!

Pra 1 2 , 3 :

J 1 2 , 3 = 0 0,25 3 0

Teremos que:

D e t J 1 2 , 3 = - 3 4 < 0

T r J 1 2 , 3 = 0

E portanto 1 2 , 3 é um centro!

Passo 3

Resolvendo a letra b)

Como o ponto x 0 , y 0 = 2,4 está no interior do primeiro quadrante, ou seja, não está sobre nenhum eixo, nenhuma das populações irá se extinguir. E pelo fato de ele não ser um ponto de centro, a solução que passa por ele é uma solução periódica, ou seja, as configurações de população irão se repetir infinitas vezes ao longo do tempo t .

Resposta

0,0 → s e l a

1 2 , 3 → c e n t r o

Exercícios Resolvidos de Retrato de Fase e Classificação de Ponto Crítico – Caso Não Linear

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