Considere o problema abaixo que representa o comportamento de duas espécies(com densidades populacionais e) competindo por suprimentos comuns.
- Determine as singularidades e classifique-as.
- Esboce as trajetórias em uma vizinhança de cada singularidade no primeiro quadrante.
- Para quais condições iniciais existe uma configuração de equilíbrio na qual nenhuma espécie desaparece, e qual é esta configuração?
Passo 1
Resolvendo a letra a)
Pra encontrar singularidades, devemos fazer:
E resolvendo o sistema:
Encontraremos os pontos:
Passo 2
Pra classificar as singularidades, devemos construir a matriz jacobiana e avalia-la em cada singularidade.
Pra :
Teremos que:
E portanto é uma fonte, ou seja, é repulsor!
Pra :
Teremos que:
E portanto é uma sela hiperbólica!
Pra :
Teremos que:
E portanto é um poço, ou seja, é atrator!
Passo 3
Resolvendo a letra b)
Passo 4
Resolvendo a letra c)
Visto que as singularidades ficam sobre os eixos, concluímos que não há nenhuma configuração de equilíbrio na qual as duas espécies sobrevivam!
Resposta
Exercícios Resolvidos de Retrato de Fase e Classificação de Ponto Crítico – Caso Não Linear
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Considere o elipsoide.Determine uma condição suficiente sobre c para que toda trajetória cruzando V(x, y, z) = c esteja orientada para dentro. Calcule a condição encontrada no caso em que σ = 10, b =
Considere o elipsoide.Calcule dV/dt ao longo das trajetórias das equações de Lorenz (1).
Desenhe um campo de direções e descreva como as soluções parecem se comportar.
Encontre os pontos críticos.
Considere o sistemaem que σ0. Note que esse sistema é uma modificação do sistema (2) no Exemplo 1.Determine o tipo e as propriedades de estabilidade de cada ponto crítico. Encontre o valor σ1