1. Primeiramente, para determinar as singularidades fazemos

Ou seja,

Resolvendo as equações achamos como solução:

Que são as singularidades do sistema.

Passo 2

Para classifica-las então vamos achar a matriz jacobiana que é dada por

Onde e .

Então a matriz jacobiana aplicada ao nosso problema fica

Passo 3

Agora vamos aplicar a matriz nas nossas singularidades, isto é:

E

Passo 4

Vamos analisar primeira a matriz referente ao ponto .

Como é uma matriz diagonal seus autovalores são exatamente o elementos da diagonal, ou seja:

Portanto, como são dois autovalores reais e diferentes temos que o ponto é um ponto de sela.

Passo 5

Agora vamos analise a outra matriz referente ao ponto

Os autovalores são dados por

Ou seja, temos dois autovalores complexos com parte real nula o que caracteriza um ponto de centro.

Passo 6

2. Bom, vimos na questão anterior que que o ponto é um ponto de sela e o ponto é um ponto de centro.

E as separatrizes do retrato de fase são as retas

Portanto, no primeiro quadrante em torno de temos uma sela e em torno de temos um centro.

Passo 7

3. Agora usamos as condições inicias e e queremos interpretar a evolução das populações no tempo .

Como as coordenadas das condições iniciais são positivas, significa que a trajetória associada é fechada.

Mas o que isso significa??

Significa que a trajetória é periódica, isto é, se for essa trajetória então existe um tal que para todo real.

Isso implica que a evolução das duas espécies é periódica no tempo, sem que nenhuma delas desapareça.