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Exercícios Resolvidos de Retrato de Fase e Classificação de Ponto Crítico – Caso Não Linear

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Exercício 512346789

Enunciado

Retratos de Fase

Considere o sistema no plano definido por:

F x , y = y - x 2 , y - x - 2

  1. Determine as singularidades do sistema.
  2. Esboce as trajetórias em uma vizinhança de cada singularidade.

Passo 1

Resolvendo a letra a)

Pra encontrar singularidades, devemos pegar a função dada que você deve encarar como uma F x , y = F X t = d x d t , d y d t e fazer:

d x d t = d y d t = 0

Então, resolvendo o sistema:

y - x 2 = 0

y - x - 2 = 0

Encontraremos os pontos:

( 2 , 4 ) ,   ( - 1 , 1 )

Passo 2

Pra classificar as singularidades, devemos construir a matriz jacobiana J ( x , y ) e avalia-la em cada singularidade.

J x , y = - 2 x 1 - 1 1

Pra 2 , 4 :

J 2,4 = - 4 1 - 1 1

Teremos que:

D e t J 2,4 = - 3 < 0

E portanto 2,4 é uma sela hiperbólica!

Pra - 1,1 :

J - 1,1 = 2 1 - 1 1

Teremos que:

D e t J - 1,1 = 3 > 0

T r J - 1,1 = 3

E portanto - 1,1 é uma fonte, ou seja, repulsor!

Passo 3

Resolvendo a letra b)

Os esboços serão dados pela solução dos sistemas:

X ' t = - 4 1 - 1 1 X t

X ' t = 2 1 - 1 1 X t

Resposta

- 1,1 → r e p u l s o r

2,4 → s e l a

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