UnB – Sem Campus – Cálculo 2 – P2 – 2022.1 – Questão 7
Use a Transformada de Laplace para resolver o seguinte Problema de Valor Inicial:
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
Provavelmente você já resolveu esse tipo de problema pelo método da equação característica, agora o enunciado pede pra nós resolvermos usando a transformada de Laplace.
Nosso PVI é:
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace é linear, então temos:
Agora vamos aplicar aquela propriedade da Transformada da derivada, lembra dela?
Substituindo na equação, temos:
Passo 2
Agora vamos substituir os valores iniciais e isolar :
Como e , temos:
Passo 3
Agora vamos decompor a expressão que encontramos em frações parciais.
As raízes de são e , portanto, podemos escrever .
Temos que juntar tudo agora para achar essas constantes e :
Juntando os termos pelos graus de :
Como o denominador já o mesmo, temos:
Portanto,
Agora que já temos os coeficientes e , basta reescrever as frações que criamos:
Passo 4
Agora que já temos as frações parciais, precisamos reconhecer a função pela sua transformada. Ou seja, achar a transformada inversa!
Lembra que ? Essa transformada é muito parecida com cada uma das frações parciais, não é? Vamos, então, reescrever essas frações para reconhecer a função.
Portanto, é exatamente a expressão dentro dos colchetes da transformada:
E encontramos nossa solução. Valeu, galera! 😉