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Exercícios Resolvidos de Sistemas de EDO

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Exercício 12345678

Enunciado

Use a transformada de Laplace para resolver os sistemas abaixo:

x ' ' t + y t = 0     ;       x 0 = 0     x ' 0 = 1 y ' t + x ' t = 0     ;         y 0 = - 1

Passo 1

Eita ferrou, esse tem segunda derivada, é diferente do exercício feito na teoria??? Não! Mesma coisa! Vamos ver:

Vamos aplicar a Transformada de Laplace à equação. Temos o seguinte:

L [ x ' ' t + y t ] = 0 L [ y ' t + x ' t ] = 0

Agora vamos aplicar aquela propriedade da Transformada da derivada:

L y ' = s L y - y 0 = s L y + 1

L x ' = s L x - x 0 = s L x

L x ' ' = s 2 L x - s x 0 - x ´ 0 = s 2 L x s - 1

Passo 2

Substituindo esses paranauês no sistema: s 2 L x - 1 + L y = 0 s L y + 1 + s L x = 0

Ae é mesma coisa do outro, resolver isso como se fosse um sistema normal, da segunda equação temos que:

L y = - L x - 1 s

Substituindo na primeira:

s 2 L x - 1 - L x - 1 s = 0 L x s 2 - 1 = 1 s + 1 = s + 1 s

L x = s + 1 s s 2 - 1

Aplicando frações parciais:

s + 1 s s 2 - 1 = s + 1 s s - 1 ( s + 1 ) = a s + b s - 1 + c s + 1 = a + b + c s 2 + b - c s - a s s 2 - 1

Daí temos que:

a + b + c = 0 b - c = 1 - a = 1 → a = - 1

Substituindo a equação 2: ( b = 1 + c ) junto com a informação de que a = - 1 na equação 1:

- 1 + 1 + c + c = 0 → c = 0

Eu sei que dava pra ter cortado ( s + 1 ) , mas queria mostrar a resolução de um sisteminha se tivesse 3 variáveis, assim deu pra ver mais coisas!

E com isso temos que : b = 1

Assim ficou:

L x = s + 1 s s 2 - 1 = - 1 s + 1 s - 1

E também

L y = - L x - 1 s = 1 s - 1 s - 1 - 1 s = - 1 s - 1

Passo 3

Agora é só olhar e procurar pela inversa, nesse caso já vimos essas transformadas, né?

x = - 1 + e t y = - e t

Resposta

x = - 1 + e t y = - e t

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