Utilize a transformada de Laplace para determinar funções satisfazendo e:
Passo 1
Vamos escrever o sistema de uma forma mais simplificada:
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambas equações:
Vamos considerar e para facilitar a escrita e lembremos que:
Substituindo os valores dado no enunciado:
Beleza, então a primeira equação vai ficar:
Vamos deixar e dispostos como variáveis de um sistema qualquer:
Agora vamos olhar para a segunda equação:
Então, temos o seguinte sistema:
Vamos resolvê-lo.
Passo 2
Para resolver esse sistema, vamos escrever em função de . Pela primeira equação:
Agora, vamos substituir na segunda equação:
Multiplicando os dois lados por
Assim, isolando :
Substituindo em :
Agora, vamos determinar as inversas e resolver o problema.
Passo 3
Para calcular, vamos determinar
Por frações parciais. Para isso, temos:
Juntando tudo:
Comparando, temos o sistema:
Resolvendo o sistema, temos:
Logo:
Assim, vai ficar:
Então, vamos ter:
Temos que:
Para:
A exponencial faz com o que o degrau apareça e que a função inversa esteja deslocada, ficando:
Assim, temos:
Vamos encontrar agora.
Passo 4
Vimos que:
Vamos tentar achar:
Por frações parciais. É bem parecido com o anterior, basta mudar as constantes do sistema:
Para e respectivamente:
Assim, o resultado será:
E teremos:
Então, seguindo a mesma lógica anterior, vamos ter:
Pronto!