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Exercícios Resolvidos de Sistemas de EDO

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Exercício 81234567

Enunciado

Utilize a transformada de Laplace para determinar funções x t , y t satisfazendo x 0 = 0 y 0 = 0 e:

d x d t + 3 x + d y d t = 1

d x d t - x + d y d t - y = e t

Passo 1

Temos aqui um Sistema de EDO para resolver usando Laplace, mas sem pânico. Vamos continuar fazendo o que fizemos até agora. Vamos escrever o sistema de uma forma mais fácil de visualizar: x ' + 3 x + y ' = 1

x ' - x + y ' - y = e t

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambas equações: L x ' + 3 x + y ' = L 1

L x ' - x + y ' - y = L e t

Vamos considerar L y = Y s e L x = X s para facilitar a escrita e lembremos que: L x ' = s X s - x 0

L y ' = s Y s - y 0

Substituindo os valores dado no enunciado: L x ' = s X s

L y ' = s Y s

Beleza, então a primeira equação vai ficar:

L x ' + 3 x + y ' = L 1

L x ' + 3 L x + L y ' = L 1

s X s + 3 X s + s Y s = 1 s

Vamos deixar X s e Y s dispostos como variáveis de um sistema qualquer:

s + 3 X s + s Y s = 1 s

Multiplicando ambos lados por s :

s s + 3 X s + s 2 Y s = 1

OK. Agora vamos para a segunda equação: L x ' - x + y ' - y = L e t

L x ' - L x + L y ' - L y = L e t

s X s - X s + s Y s - Y s = 1 s - 1

Organizando X s e Y s :

s - 1 X s + s - 1 Y s = 1 s - 1

Multiplicando ambos lados por s - 1 :

s - 1 2 X s + s - 1 2 Y ( s ) = 1

Assim, temos o seguinte sistema:

s s + 3 X s + s 2 Y s = 1 s - 1 2 X s + s - 1 2 Y ( s ) = 1

Vamos tentar resolvê-lo agora.

Passo 2

Ambas equações são iguais a 1 , então podemos escrever: s s + 3 X s + s 2 Y s = s - 1 2 X s + s - 1 2 Y ( s )

Vamos escrever agora Y s e função e X s :

s - 1 2 - s 2 Y s = s s + 3 - s - 1 2 X s

Y s = s s + 3 - s - 1 2 s - 1 2 - s 2 X s

Vamos escrever melhor isso aí: s s + 3 - s - 1 2 s - 1 2 - s 2 = s 2 + 3 s - s 2 + 2 s - 1 s 2 - 2 s + 1 - s 2 = 5 s - 1 1 - 2 s

Pronto, melhorou. Assim, temos:

Y s = 5 s - 1 1 - 2 s X s

Vamos substituir essa relação na primeira equação:

s s + 3 X s + s 2 Y s = 1

s s + 3 X s + s 2 5 s - 1 1 - 2 s X s = 1

X s s s + 3 + 5 s 3 - s 2 1 - 2 s = 1

Vamos isolar X s : X s s 2 + 3 s 1 - 2 s 1 - 2 s + 5 s 3 - s 2 1 - 2 s = 1

X s 3 s 3 - 6 s 2 + 3 s 1 - 2 s = 1

X s = 1 - 2 s 3 s 3 - 6 s 2 + 3 s

Já temos a transformada de X s , vamos agora obter Y ( s ) . Só substituir na relação:

Y s = 5 s - 1 1 - 2 s X s

Y s = 5 s - 1 1 - 2 s ⋅ 1 - 2 s 3 s 3 - 6 s 2 + 3 s

Y s = 5 s - 1 3 s 3 - 6 s 2 + 3 s

Para encontra x t e y t , “só” determinar as inversas agora. Vamos fazer isso.

Passo 3

Vamos calcular a inversa de X s agora. Temos que: X s = 1 - 2 s 3 s 3 - 6 s 2 + 3 s  

A primeira coisa a fazer é fatorar os polinômios para tentar chegar em transformadas conhecidas: 3 s 3 - 6 s 2 + 3 s = 3 s s 2 - 2 s + 1 = 3 s s - 1 2

Opa, dá para simplificar, olha só: 1 - 2 s 3 s 3 - 6 s 2 + 3 s = 1 - 2 s 3 s s - 1 2 = 1 3 - 2 3 s s s - 1 2

Agora, usando frações parciais:

1 3 - 2 3 s s s - 1 2 = A s + B s + C s - 1 2

Juntando tudo para poder comparar coeficientes: 1 3 - 2 3 s s s - 1 2 = A s - 1 2 s s - 1 2 + B s 2 + C s s s - 1 2

1 3 - 2 3 s s s - 1 2 = A s 2 - 2 s + 1 s s - 1 2 + B s 2 + C s s s - 1 2

1 3 - 2 3 s s s - 1 2 = A s 2 - 2 A s + A s s - 1 2 + B s 2 + C s s s - 1 2

0 s 2 + - 2 3 s + 1 3 s s - 1 2 = A + B s 2 + C - 2 A s + A s s - 1 2

Logo, temos o sistema: A + B = 0 C - 2 A = - 2 3 A = 1 3

Resolvendo, obtemos:

A = 1 3 B = - 1 3       C = 0

Legal, então: X s = 1 3 1 s - 1 3 s s - 1 2

X s = 1 3 1 s - 1 3 s - 1 + 1 s - 1 2

X s = 1 3 1 s - 1 3 s - 1 s - 1 2 + 1 s - 1 2

X s = 1 3 1 s - 1 3 1 s - 1 + 1 s - 1 2

X s = 1 3 ∙ 1 s - 1 3 ∙ 1 s - 1 - 1 3 ∙ 1 s - 1 2

Sabemos que: x t = L - 1 1 3 ∙ 1 s - 1 3 ∙ 1 s - 1 - 1 3 ∙ 1 s - 1 2

x t = 1 3 L - 1 1 s - 1 3 L - 1 1 s - 1 - 1 3 L - 1 1 s - 1 2

x t = 1 3 - 1 3 e t - 1 3 t e t

x t = 1 - e t t + 1 3

Opa! Achamos o x t . Vamos achar o y ( t ) agora para fechar.

Passo 4

Temos que: Y s = 5 s - 1 3 s 3 - 6 s 2 + 3 s = 5 s - 1 3 s s - 1 2 = 5 3 s - 1 3 s s - 1 2

Vamos usar novamente frações parciais para encontrar: 5 3 s - 1 3 s s - 1 2 = A s + B s + C s - 1 2

Juntando tudo:

5 3 s - 1 3 s s - 1 2 = A s - 1 2 s s - 1 2 + B s 2 + C s s s - 1 2

5 3 s - 1 3 s s - 1 2 = A s 2 - 2 s + 1 s s - 1 2 + B s 2 + C s s s - 1 2

5 3 s - 1 3 s s - 1 2 = A s 2 - 2 A s + A s s - 1 2 + B s 2 + C s s s - 1 2

0 s 2 + 5 3 s + - 1 3 s s - 1 2 = A + B s 2 + C - 2 A s + A s s - 1 2

Comparando os coeficientes, obtemos o sistema: A + B = 0 C - 2 A = 5 3 A = - 1 3

Resolvendo-o, obtemos: A = - 1 3 B = 1 3 C = 1

Portanto:

Y s = - 1 3 ⋅ 1 s + 1 3 ⋅ s + 1 s - 1 2

Y s = - 1 3 ⋅ 1 s + 1 3 ⋅ s + 3 s - 1 2

Y s = - 1 3 ⋅ 1 s + 1 3 ⋅ s + 3 - 4 + 4 s - 1 2

Y s = - 1 3 ⋅ 1 s + 1 3 ⋅ s - 1 + 4 s - 1 2

Y s = - 1 3 ⋅ 1 s + 1 3 ⋅ s - 1 s - 1 2 + 4 s - 1 2

Y s = - 1 3 ⋅ 1 s + 1 3 ⋅ 1 s - 1 + 4 ⋅ 1 s - 1 2

Y s = - 1 3 ⋅ 1 s + 1 3 ⋅ 1 s - 1 + 4 3 ⋅ 1 s - 1 2

E sabemos que: y t = L - 1 - 1 3 ⋅ 1 s + 1 3 ⋅ 1 s - 1 + 4 3 ⋅ 1 s - 1 2

y t = - 1 3 L - 1 1 s + 1 3 L - 1 1 s - 1 + 4 3 L - 1 1 s - 1 2

y t = - 1 3 + 1 3 e t + 4 3 t e t

y t = e t 4 t + 1 - 1 3

Ufa, acabou!

Resposta

x t = 1 - e t t + 1 3

y t = e t 4 t + 1 - 1 3

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