Exercícios Resolvidos de Sistemas Lineares

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Enunciado

Ache as soluções para a matriz:

1 0 2 2 0 3   |   5 6

Passo 1

Faaaaaala meus queridos !! Como vocês estão?

Animadíssimos para seguir, eu espero!!

Nós vamos montar uma matriz onde cada linha corresponde a uma equação linear e cada coluna representa o companheiro do x ,   y   e   z , assim como o resultado!!

A primeira coluna já tem o seu pivô!

Então vamos zerar o número 2 logo abaixo, para isso podemos fazer:

L 2 = L 2 - 2 L 1

Então:

1 0 2 2 - 2 1 0 - 2 0 3 - 2 2   |   5 6 - 2 5 = 1 0 2 0 0 - 1   |   5 - 4

A segunda coluna só tem zero, então nós não podemos transformá-la em pivô !

Mas a terceira já tem um -1 ali na posição !! Então vamos simplesmente multiplicar a linha toda por -1:

L 2 = - L 2

Então:

1 0 2 - 0 - 0 - ( - 1 )   |   5 - ( - 4 ) = 1 0 2 0 0 1   |   5 4

Na coluna do y nós não temos o pivô, o que isso significa?

Que y é uma variável livre, ou seja, pertence aos números reais ( y   ϵ   R ) e pode ter qualquer valor, então nós vamos colocar as outras variáveis x   e   z em função dela !!

Vamos fazer mais uma manipulação para facilitar, zerando o 2 lá na primeira linha:

L 1 = L 1 - 2 L 2

Então:

1 - 2 0 0 - 2 0 2 - 2 1 0 0 1   |   5 - 2 4 4 = 1 0 0 0 0 1   |   - 3 4

Quando chegamos nesse ponto nós já facilitamos muito as coisas, certo?

Passo 2

Agora vamos transformá-la em equações lineares !!

1 x + 0 y + 0 z = - 3             ∴             x = - 3

0 . x + 0 y + 1 z = 4             ∴             z = 4

E o y nós já sabemos que é livre !!

E assim nós acabamos de achar a solução:

- 3 y   ϵ   R 4

Legal, não é?

Resposta

x y z = - 3 y   ϵ   R 4