Exercícios Resolvidos de Sistemas Lineares

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Enunciado

Consideremos o seguinte sistema de equações lineares dadas como matriz, ache as soluções:

1 2 3 0 1 2 0 0 0   |   0 9 0

Passo 1

Shoow de boola !!!

Nada muito diferente da anterior, mas essa matriz representa equações lineares !!

Cada linha representa uma equação, e cada coluna um companheiro para as letrinhas assim como o resultado:

A terceira linha é toda nula, ou seja, não temos pivô para a variável z, e o que isso nos diz?

Nos diz que z é uma variável livre, ou seja, pertence aos números reais ( z   ϵ   R ) e pode ter qualquer valor, então nós vamos colocar as outras variáveis x   e   y em função dela !!

Bom, a nossa matriz já tem os pivôs, então só nos resta transformá-la novamente em equações lineares !!

Lembrando que cada linha é uma equação (2) e a primeira coluna representa o par do x, a segunda de y, a terceira de z e a ultima a igualdade:

1 x + 2 y + 3 z = 0

0 . x + 1 y + 2 z = 9

Na segunda equação nós podemos isolar o y passando o termo 2z para o outro lado da igualdade com sinal contrário:

0 . x + 1 y + 2 z = 9       ∴       y = 9 - 2 z

Apesar de ser feio o que achamos, é isso mesmo que é o valor de y . Como temos infinitos valores possíveis de z , nosso y e x vão ficar escritos em função do z mesmo, não se assustem.

Na primeira equação nós podemos substituir o y pelo que acabamos de achar:

1 x + 2 y + 3 z = 0         ∴         x + 2 9 - 2 z + 3 z = 0    

O 2 multiplica cada um dos termos que estão dentro dos parêntesis:

x + 18 - 4 z + 3 z = 0       ∴       x + 18 - z = 0

Passando o 18 e z para o outro lado da igualdade com sinal oposto:

x = z - 18

Olha que massa !!

Acabamos de achar a solução:

z - 18 9 - 2 z z   ϵ   R

Então, para cada valor de z diferente, teremos valores diferentes para o x e y também !!

Esse tipo de resposta é bem comum e a gente diz que o sistema linear é possível e indeterminado.

Bora continuar ?!

Resposta

x y z = z - 18 9 - 2 z z   ϵ   R