Exercícios Resolvidos de Sistemas Lineares

Ver Teoria

Enunciado

Consideremos o seguinte sistema de equações lineares, ache as soluções:

x + y - 2 z = - 2

x - y = 0

2 x + y - 3 z = - 3

Passo 1

Boom galerinha, o escalonamento é algo bem importante, não é?

Isso porque nós podemos escrever sistemas lineares na forma de uma matriz, e ao escalonar nós conseguimos achar a solução do problema de forma mais fácil do que substituindo um no outro, como fazíamos lá no ensino médio !!

Então vamos montar uma matriz onde cada linha corresponde a uma equação linear e cada coluna representa o companheiro do x ,   y   e   z , assim como o resultado!!

Só colocamos as equações como matriz certo?

A primeira coluna já tem o seu pivô!! Então vamos zerar a segunda e a terceira linha, certo?

Para fazer isso nós podemos usar a primeira linha e manipular a segunda e terceira juntinho! Vamos pensar aqui em uma operação:

L 2 = L 1 - L 2

L 3 = 2 L 1 - L 3

Agora vamos só fazer as continhas:

1 1 - 2 1 - 1 1 - ( - 1 ) - 2 - 0 2 1 - 2 2 1 - 1 2 - 2 - ( - 3 )   |   - 2 - 2 - 0 2 - 2 - ( - 3 ) = 1 1 - 2 0 2 - 2 0 1 - 1   |   - 2 - 2 - 1

Para encontrar o pivô da segunda nós precisamos transformar este 2 aí em 1, por isso nós podemos dividir toda essa segunda linha por dois, ok?

L 2 = L 2 2

Então:

1 1 - 2 0 2 2 2 - 2 2 0 1 - 1   |   - 2 - 2 2 - 1 = 1 1 - 2 0 1 - 1 0 1 - 1   |   - 2 - 1 - 1

E para zerar o termo abaixo desse pivô? O que faremos?

Podemos subtrair a linha 3 de 2, certo?

L 3 = L 3 - L 2

Então:

1 1 - 2 0 1 - 1 0 - 0 1 - 1 - 1 - - 1   |   - 2 - 1 - 1 - - 1 = 1 1 - 2 0 1 - 1 0 0 0   |   - 2 - 1 0

Passo 2

A terceira linha é toda nula, ou seja, não temos pivô para a variável z, e o que isso nos diz?

Nos diz que z é uma variável livre, ou seja, pertence aos números reais ( z   ϵ   R ) e pode ter qualquer valor, então nós vamos colocar as outras variáveis x   e   y em função dela !!

Bom, a nossa matriz já tem os pivôs, então só nos resta transformá-la novamente em equações lineares !!

Da primeira linha:

1 x + 1 y - 2 z = - 2

0 . x + 1 y - 1 z = - 1

Na segunda coluna nós podemos isolar o y passando o termo z para o outro lado da igualdade com sinal contrário:

0 . x + 1 y - 1 z = - 1       ∴       y = - 1 + z

Na primeira equação nós podemos substituir o y pelo que acabamos de achar:

1 x + 1 y - 2 z = - 2         ∴         x - 1 + z - 2 z = - 2

Somando os termos contendo o z:

x - 1 - z = - 2

Os termos 1 e z passam para o outro lado da igualdade com o sinal oposto:

x = z + 1 - 2

x = z - 1

E assim nós acabamos de achar a solução:

z - 1 z - 1 z   ϵ   R

Então, para cada valor de z diferente, teremos um ponto diferente !!

O que acharam desta?

Resposta

x y z = z - 1 z - 1 z   ϵ   R