Exercícios Resolvidos de Sistemas Lineares

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Enunciado

O sistema linear:

- x - 2 y - 2 z = 5

- x - 3 z = 5

x + 4 y + 3 z = - 9

Admite a solução x 0 , y 0 , z 0 . Determine a soma x 0 + y 0 + z 0 .

Passo 1

Animados para mais uma solução bem legal ?! Entãao boora !!

Nós vamos montar uma matriz onde cada linha corresponde a uma equação linear e cada coluna representa o companheiro do x ,   y   e   z , assim como o resultado!!

- 1 - 2 - 2 - 1 0 - 3 1 4 3   |   5 5 - 9

Para chegar ao pivô na primeira linha basta nós multiplicarmos ela por -1, certo?

L 1 = - L 1

Então:

- ( - 1 ) - ( - 2 ) - ( - 2 ) - 1 0 - 3 1 4 3   |   - 5 5 - 9 = 1 2 2 - 1 0 - 3 1 4 3   |   - 5 5 - 9

Agora o que nós precisamos fazer? Zerar os dois números abaixo do pivô, e para isso podemos fazer:

L 2 = L 1 + L 2

L 3 = L 1 - L 3

Então:

1 2 2 1 + ( - 1 ) 2 + 0 2 + ( - 3 ) 1 - 1 2 - 4 2 - 3   |   - 5 - 5 + 5 - 5 - ( - 9 ) = 1 2 2 0 2 - 1 0 - 2 - 1   |   - 5 0 4

Para achar o pivô da segunda coluna vamos dividir tudo por 2?

L 2 = L 2 2

Então:

1 2 2 0 2 2 2 - 1 2 0 - 2 - 1   |   - 5 0 2 4 = 1 2 2 0 1 - 1 2 0 - 2 - 1   |   - 5 0 4

E para zerar o termo -2 abaixo do pivô:

L 3 = L 3 + 2 L 2

E agora a matriz vai ficar assim:

1 2 2 0 1 - 1 2 0 + 2 0 - 2 + 2 1 - 1 + 2 - 1 2   |   - 5 0 4 + 2 0 = 1 2 2 0 1 - 1 2 0 0 - 2   |   - 5 0 4

Quando chegamos nesse ponto nós já facilitamos muito as coisas, certo?

Passo 2

Agora vamos transformá-la em equações lineares !!

1 x + 2 y + 2 z = - 5

0 . x + 1 y - 1 2 z = 0

- 2 z = 4

Para isolar o z nós vamos usar a terceira equação, para isso nós vamos passar o -2 para o outro lado dividindo:

z = 4 - 2           ∴           z = - 2

Agora nós vamos colocar o z na segunda equação:

0 . x + 1 y - 1 2 z = 0           ∴           y - 1 2 - 2 = 0          

y + 1 = 0

Agora o 1 passa para o outro lado com o sinal oposto:

y = - 1

E para achar o x nós colocamos y e z na primeira equação:

1 x + 2 y + 2 z = - 5         ∴           x + 2 - 1 + 2 - 2 = - 5

x - 2 - 4 = - 5

x - 6 = - 5

O termo 6 passa para o outro lado da igualdade com o sinal oposto:

x = 6 - 5

x = 1

Acabamos de achar a solução:

x 0 y 0 z 0 = 1 - 1 - 2

Mas o que queremos de verdade é x 0 + y 0 + z 0 , então se já sabemos todos os valores nós vamos só somar !

x 0 + y 0 + z 0 = 1 - 1 - 2 = - 2

Legal, não é?

Resposta

x 0 + y 0 + z 0 = - 2