Exercícios Resolvidos de Sistemas Lineares

Ver Teoria

Enunciado

Uma loja de discos classificou seus CDS em três tipos A, B e C, unificando o preço para cada tipo. Quatro consumidores fizeram compras nessa loja nas seguintes condições: o primeiro comprou 2 CDs do tipo A, 3 do tipo B e 1 do tipo C, gastando R$121,00. O segundo comprou 4 Cds do tipo A, 2 do tipo B e gastou R$112,00. O terceiro comprou 3 CDs do tipo A, 1 do tipo C e gastous R$79,00. O quarto comprou um CD de cada tipo. Calcule quanto o quarto consumidor pagou à loja.

Passo 1

Faaaaaala sério galerinha !! Essa é legal demais !

O problema quer saber quanto o quarto consumidor pagou à loja, se ele comprou 1A, 1B e 1C. Vamos ter que colocar isso aí em forma de soma, não é?

A + B + C =   ?

Para saber a resposta nós vamos precisar achar o valor de cada um deles, e como faremos isso??

Montando um sistema de equações lineares !!

Para o primeiro: comprou 2A, 3B e 1C e pagou 121, então:

2 A + 3 B + C = 121

Para o segundo: comprou 4A e 2B e pagou 112, então:

4 A + 2 B = 112

Para o terceiro: comprou 3A e 1C e pagou 79, então:

3 A + C = 79

Então o nosso sistema linear será composto destas três equações:

2 A + 3 B + C = 121

4 A + 2 B = 112

3 A + C = 79

Passo 2

Com as equações nós vamos montar uma matriz onde cada linha corresponde a uma equação linear e cada coluna representa o companheiro do A ,   B   e   C , assim como o resultado!!

2 3 1 4 2 0 3 0 1   |   121 112 79

Para chegar ao pivô na primeira linha basta nós dividirmos ela por 2, certo?

L 1 = L 1 2

Então:

2 2 3 2 1 2 4 2 0 3 0 1   |   121 2 112 79 = 1 1,5 0,5 4 2 0 3 0 1   |   60,5 112 79

Agora o que nós precisamos fazer? Zerar os dois números abaixo do pivô, e para isso podemos fazer:

L 2 = L 2 - 4 L 1

L 3 = L 2 - 3 L 1

Então:

1 1,5 0,5 4 - 4 1 2 - 4 1,5 0 - 4 0,5 3 - 3 1 0 - 3 1,5 1 - 3 0,5   |   60,5 112 - 4 60,5 79 - 3 60,5 = 1 1,5 0,5 0 - 4 - 2 0 - 4,5 - 0,5   |   60,5 - 130 - 102,5

Para achar o pivô da segunda coluna vamos multiplicar tudo por -1/4?

L 2 = - L 2 4

Então:

1 1,5 0,5 - 0 4 - - 4 4 - - 2 4 0 - 4,5 - 0,5   |   60,5 - - 130 4 - 102,5 = 1 1,5 0,5 0 1 0,5 0 - 4,5 - 0,5   |   60,5 32,5 - 102,5

E para zerar o termo -4,5 abaixo do pivô:

L 3 = L 3 + 4,5 L 2

E agora a matriz vai ficar assim:

1 1,5 0,5 0 1 0,5 0 + 4,5 0 - 4,5 + 4,5 1 - 0,5 + 4,5 0,5   |   60,5 32,5 - 102,5 + 4,5 32,5 = 1 1,5 0,5 0 1 0,5 0 0 1,75   |   60,5 32,5 43,75

Quando chegamos nesse ponto nós já facilitamos muito as coisas, certo?

Passo 3

Agora vamos transformá-la em equações lineares, de noovo !!

1 A + 1,5 B + 0,5 C = 60,5

0 . A + 1 B + 0,5 C = 32,5

1,75 C = 43,75

Para isolar o C nós vamos usar a terceira equação, passando o 1,75 para o outro lado dividindo:

C = 43,75 1,75           ∴           C = 25

Agora nós vamos colocar o C na segunda equação:

0 . A + 1 B + 0,5 C = 32,5           ∴           B + 0,5 25 = 32,5          

B + 12,5 = 32,5

Agora o 12,5 passa para o outro lado com o sinal oposto:

B = 32,5 - 12,5

B = 20

E para achar o A nós colocamos B e C na primeira equação:

1 A + 1,5 B + 0,5 C = 60,5         ∴           A + 1,5 20 + 0,5 25 = 60,5

A + 30 + 12,5 = 60,5

A + 42,5 = 60,5

O termo 42,5 passa para o outro lado da igualdade com o sinal oposto:

A = 60,5 - 42,5

A = 18

Acabamos de achar a solução:

A B C = 18 20 25

Mas nós não queremos saber isso !! Nós queremos saber quanto foi que o quarto comprador pagou, olhando no Passo 1:

A + B + C =   ?

Substituindo:

A + B + C =   18 + 20 + 25

A + B + C = 63

Legal, não é?

Resposta

A + B + C = R $ 63,00