Exercícios Resolvidos de Sistemas Lineares

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Enunciado

Resolva o sistema:

x - y + z = 1

2 x + y + 2 z = 0

3 x - y + z = 1

Passo 1

Mais uma de escalonamento e sistemas lineares para vocês ficarem craques !!

Primeiro vamos transformar as equção em linhas de uma matriz, certo?

Cada linha corresponde a uma equação linear e cada coluna representa o companheiro do x ,   y   e   z , assim como o resultado!!

1 - 1 1 2 1 2 3 - 1 1   |   1 0 1

A primeira linha já tem pivô, então vamos zerar o 2 e o 3 abaixo dele:

L 2 = L 2 - 2 L 1

L 3 = L 3 - 3 L 1

Então:

1 - 1 1 2 - 2 1 1 - 2 - 1 2 - 2 1 3 - 3 1 - 1 - 3 - 1 1 - 3 1   |   1 0 - 2 1 1 - 3 1 = 1 - 1 1 0 3 0 0 2 - 2   |   1 - 2 - 2

Para chegar ao pivô na segunda linha vamos dividir a linha 2 por 3, certo?

L 2 = L 2 3

Então:

1 - 1 1 0 3 3 3 0 3 0 2 - 2   |   1 - 2 3 - 2 = 1 - 1 1 0 1 0 0 2 - 2   |   1 - 2 / 3 - 2

Agora o que nós precisamos fazer? Zerar o 2 abaixo do pivô, e para isso podemos fazer:

L 3 = L 3 - 2 L 2

Então:

1 - 1 1 0 1 0 0 - 2 0 2 - 2 1 - 2 - 2 0   |   1 - 2 / 3 - 2 - 2 - 2 3 = 1 - 1 1 0 1 0 0 0 - 2   |   1 - 2 / 3 - 2 / 3

Quando chegamos nesse ponto nós já facilitamos muito as coisas, certo?

Passo 2

Agora vamos transformá-la em equações lineares !!

1 x - 1 y + 1 z = 1

0 x + 1 y + 0 z = - 2 3             ∴                   y = - 2 3

0 x + 0 y - 2 z = - 2 3           ∴         - 2 z = - 2 3

A segunda equação já nos dá o valor de y, certo? E a terceira está quase pronta, basta nós passarmos o -2 para o outro lado dividindo:

z = - 2 3 - 2           ∴           z = 1 3

Agora nós vamos colocar o y e z na primeira equação:

1 x - 1 y + 1 z = 1           ∴           x - - 2 3 + 1 3 = 1          

x + 2 3 + 1 3 = 1

Como o denominador é o mesmo para as duas frações podemos somar os numeradores:

x + 2 + 1 3 = 1

x + 3 3 = 1

x + 1 = 1

Passando o 1 para o outro lado com o sinal oposto:

x = 1 - 1

x = 0

Acabamos de achar a solução:

x y z = 0 - 2 3 1 3

E assim nós chegamos ao fim de mais umaaa !!

Resposta

x y z = 0 - 2 3 1 3