Exercícios Resolvidos de Sistemas Lineares

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Enunciado

Consideremos o seguinte sistema de equações lineares dadas como matriz, ache as soluções:

3 1 2 3     |     9 13

Passo 1

Faaaala galerinhaa !! Prontos para mais uma ?!

Que estranho... o exercício dá uma matriz e nos pede para resolver um sistema linear... Cadê o sistema linear?!

Calma!

Essa matriz que tá aparecendo é chamada de matriz ampliada do sistema linear. Cada linha representa uma equação do sistema, e a gente pode pensar nas colunas assim: A primeira coluna contém os números que vão multiplicar o x , na segunda coluna a gente tem os números que vão multiplicar o y e na última coluna, a gente tem os resultados:

Essa matriz é a mesma coisa que esse sistema aqui ó:

3 x + y = 9 2 x + 3 y = 13  

Boom galerinha, o escalonamento é algo bem importante, não é?

Isso porque nós podemos escrever sistemas lineares na forma de uma matriz, e ao escalonar nós conseguimos achar a solução do problema de forma mais fácil do que substituindo um no outro, como fazíamos lá no ensino médio !!

Vamos começar achando o pivô para a primeria coluna, certo?

E como faremos para fazer aparecer o 1 no lugar do 3?

Podemos fazer:

L 1 = L 1 3

Então:

3 3 1 3 2 3     |     9 3 13 = 1 1 3 2 3     |     3 13

Agora nós vamos precisar zerar estes termos abaixo do pivô, ok? Isso vai facilitar na hora de resolvermos nosso sisteminha!

Para isso podemos fazer:

L 2 = L 2 - 2 L 1

Então:

1 1 3 2 - 2 1 3 - 2   ( 1 3 )     |     3 13 - 2 3

Para resolver essa operação com frações na segunda linha a gente faz:

3 - 2 1 3 =   3 .   3 - 2 3 =   9 - 2 3 =   7 3

Então nossa matriz fica dessa forma aqui:

1 1 3 0 7 3     |     3 7

Bom, nós podíamos seguir a achar o pivô para a segunda coluna, mas quando chegamos nesse ponto nós já achamos uma incógnita em função do resultado, certo?

Como assim?

Bom, a segunda linha representa a segunda equação, a primeira coluna o x, a segunda o y e a terceira a igualdade !! Se é assim, na segunda linha nós temos o x nulo, então o y está em função da igualdade!!

Passo 2

Podemos transformar esta matriz novamente em sistemas lineares

1 x + y 3 = 3

0 . x + 7 y 3 = 7

Na segunda equação nós podemos isolar o y, certo?

0 . x + 7 y 3 = 7       ∴   7 y 3 = 7

Vamos passar quem tá multiplicando o y para o outro lado da igualdade. Cuidado que quando a gente faz isso, quem multiplica passa a dividir e quem dividi passa a multiplicar:

y = 3 7 . 7

y = 3

Na primeira equação nós podemos substituir o y pelo que acabamos de achar:

1 x + 1 3 y = 3         ∴         x + 1 3 3 = 3

x + 1 = 3

Agora o 1 vai lá para o outro lado da igualdade com o sinal oposto:

x = 3 - 1

x = 2

Olha que massa !!

Acabamos de achar a solução:

x y = 2 3

Bora continuar ?!

Resposta

x y = 2 3