Exercícios Resolvidos de Sistemas Lineares

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Enunciado

Consideremos o seguinte sistema de equações lineares dadas como matriz, ache as soluções:

1 1 1 1 2 2 2 1 3   |   6 9 11

Passo 1

Mais uma beem legal !! Animados para seguir?

Já vimos que cada linha representa uma equação, e cada coluna um companheiro para as letrinhas assim como o resultado:

A primeira linha já veio com o pivô para facilitar a nossa vida, certo?

Então vamos começar pensando em como zerar os números abaixo dele, 1 e 2, ok?

Para isso nós podemos fazer as seguintes operações:

L 2 = L 2 - L 1

L 3 = L 3 - 2 L 1

Então:

1 1 1 1 - 1 2 - 1 2 - 1 2 - 2 1 1 - 2 1 3 - 2 1   |   6 9 - 6 11 - 2 6 = 1 1 1 0 1 1 0 - 1 1   |   6 3 - 1

E com isso nós já achamos o pivô para a segunda coluna, certo?

Então vamos tentar zerar esse -1 que está em baixo dele, certinho?

Vamos fazer isso somando a linha 3 com a 2, assim dá certo, concordam?

L 3 = L 3 + L 2

Então:

1 1 1 0 1 1 0 + 0 - 1 + 1 1 + 1   |   6 3 - 1 + 3 = 1 1 1 0 1 1 0 0 2   |   6 3 2

Nós podíamos manipular mais, mas só até esse ponto já nos facilita, e muito, a vida, não é?

Passo 2

Se nesse ponto ela já nos ajuda, então só nos resta transformá-la em equações lineares !!

Lembrando que cada linha é uma equação linear, a primeira coluna é o par do x, a segunda do y, a terceira do z e última a igualdade:

1 x + 1 y + 1 z = 6

0 . x + 1 y + 1 z = 3

0 . x + 0 y + 2 z = 2

Da terceira linha nós conseguimos achar o z:

0 . x + 0 y + 2 z = 2       ∴       2 z = 2

O 2 que está do ladinho de z passa para o outro lado dividindo, certo?

z = 2 2

z = 1

Na segunda coluna nós podemos achar o y, basta substituirmos o z:

0 . x + 1 y + 1 z = 3           ∴           y + 1 = 3

O 1 vai passa para o outro lado da igualdade com o sinal oposto, e deixar o y sozinho, só assim pra gente conseguir achá-lo:

y = 3 - 1

y = 2

Na primeira equações nós podemos substituir o y pelo que acabamos de achar:

1 x + 1 y + 1 z = 6           ∴           x + 2 + 1 = 6

x + 3 = 6

E agora é a vez do 3 passar com sinal oposto para o outro lado:

x = 6 - 3

x = 3

E assim nós achamos a solução para este sistemaa !!

Gostaram?!

Resposta

x y z = 3 2 1