Exercícios Resolvidos de Sistemas Lineares

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Enunciado

Consideremos o seguinte sistema de equações lineares, ache as soluções:

2 x + y - 2 z = 10

3 x + 2 y + 2 z = 1

5 x + 4 y + 3 z = 4

Passo 1

Animados para mais uma solução bem legal ?! Entãao boora !!

Nós vamos montar uma matriz onde cada linha corresponde a uma equação linear e cada coluna representa o companheiro do x ,   y   e   z , assim como o resultado!!

Só colocamos as equações como matriz certo?

Para achar o pivô na primeira coluna podemos dividir tudo por 2, certo?

L 1 = L 1 2

Então:

2 2 1 2 - 2 2 3 2 2 5 4 3   |   10 2 1 4 = 1 1 2 - 1 3 2 2 5 4 3   |   5 1 4

Agora precisamos zerar estes números abaixo do nosso pivô na primeira coluna, e aí ? Como faremos?

Que tal usarmos:

L 2 = 3 L 1 - L 2

L 3 = 5 L 1 - L 3

Então:

1 1 2 - 1 3 1 - 3 3 1 2 - 2 3 - 1 - 2 5 1 - 5 5 1 2 - 4 5 - 1 - 3   |   5   3 5 - 1 5 5 - 4 = 1 1 2 - 1 3 1 - 3 3 - 2.2 2 3 - 1 - 2 5 1 - 5 5 - 4.2 2 5 - 1 - 3   |   5   3 5 - 1 5 5 - 4

= 1 1 2 - 1 0 - 1 2 - 5 0 - 3 2 - 8   |   5   14 21

Agora, temos que achar o pivô para a segunda coluna, e para isso podemos transformar -   1 2 em 1 multiplicando tudo da linha 2 por -2:

L 2 = - 2 L 2

Então:

1 1 2 - 1 - 2 ( 0 ) - 2 ( - 1 2 ) - 2 ( - 5 ) 0 - 3 2 - 8   |   5   - 2 ( 14 ) 21 = 1 1 2 - 1 0 1 10 0 - 3 2 - 8   |   5   - 28 21

Para zerar o termo - 3 2 na última linha podemos fazer:

L 3 = L 3 + 3 2 . L 2

Então:

1 1 2 - 1 0 1 10 0 + 3 2   0 - 3 2 + 3 2   1 - 8 + 3 2   10   |   5   - 28 21 + 3 2   - 28

=   1 1 2 - 1 0 1 10 0 + 0 - 3 2 + 3 2   - 8 + 15   |   5   - 28 21 - 42

= 1 1 2 - 1 0 1 10 0 0 7   |   5   - 28 - 21

Quando chegamos nesse ponto nós já facilitamos muito as coisas, certo?

Passo 2

Agora vamos transformá-la novamente em equações lineares !!

Não se esqueçam que cada linha correspondem a uma equação, cada coluna representa um companheiro para o x, y, z e a igualdade:

1 x + 1 2 y - 1 z = 5

0 . x + 1 y + 10 z = - 28

7 z = - 21

Da terceira equação nós podemos achar o z, basta passar o 7 para o outro lado dividindo:

z = - 21 7             ∴             z = - 3

Na segunda equação nós substituímos o z:

0 . x + 1 y + 10 z = - 28             ∴           y + 10 - 3 = - 28  

y - 30 = - 28

Passando o termo 30 para o outro lado da igualdade com sinal contrário:

y = 30 - 28

y = 2

Na primeira equação nós podemos substituir o y e o z:

1 x + y 2 - 1 z = 5         ∴         x + 2 2 - 1 - 3 = 5

x + 1 + 3 = 5

x + 4 = 5

O termo 4 passa para o outro lado da igualdade com o sinal oposto:

x = 5 - 4

x = 1

E assim nós finalizamos mais umaa !!

1 2 - 3

Legal, não é?

Resposta

x y z = 1 2 - 3