Física 4 – PUC RJ – 2019.2 – P2 – Questão 3
Em um laboratório, um próton é acelerado tal que adquire uma energia cinética que é dobro de sua energia de repouso.
a) Qual é a velocidade do próton no laboratório, medida em termos de ?
b) Suponha que o próton viesse a colidir com uma partícula em repouso, e que fosse possível que a partícula “capturasse” o próton, formando uma única partícula após a colisão, sem perdas de energia para o meio. Qual seria a massa de repouso dessa nova partícula? Com que velocidade ela sairia após a colisão?
(Dado: a partícula é o núcleo do átomo de e tem massa ).
c) Verifique se, nesse processo, o ganho de energia de repouso do sistema equivale à perda de energia cinética.
Passo 1
Eai galerinha, prontos para resolver uma questão de física 4?
Nesse problema vamos brincar com energia relativística. A energia total relativística é dada por
Essa energia compreende a energia de repouso e a energia cinética :
Mas o enunciado disse que a energia cinética era o dobro da energia de repouso:
Assim,
Passo 2
Agora você precisa lembrar que
Logo,
Elevando ao quadrado:
Portanto,
Tirando a raiz,
Portanto, a velocidade do próton era
Passo 3
No item (b), o próton do item (a) vai colidir com uma partícula que está em repouso e eles vão se juntar e formar uma nova partícula. O enunciado disse que a energia é conservada nesse processo, de modo que
Antes da colisão tínhamos três energias:
Tínhamos a energia de repouso do próton, a energia de repouso da partícula e a energia cinética do próton. A partícula não tinha energia cinética pois estava em repouso. Vimos também que , de modo que
Além disso, , de modo que
Após a colisão vamos ter uma nova partícula cuja massa de repouso é e ela terá uma energia cinética :
Eu sei que você é tentado a dizer que , porém não podemos fazer isso! A gente sabe que nesses processos energia pode se converter em massa e vice versa, então temos que tomar cuidado! Usando a conservação da energia total achamos que
Passo 4
A equação que achamos no passo anterior tem duas incógnitas: e . Portanto, precisamos de uma nova equação para montar um sistema. Essa equação vem da conservação do momento linear!
Vamos lembrar que o momento relativístico de uma partícula é dado por
Ele também é dado pela relação
Aplicando a conservação do momento linear:
Nessa última equação, representa o momento da partícula formada após a colisão. Como a partícula está em repouso, temos que . Assim,
Multiplicando por e elevando ao quadrado, temos que
Usando a relação entre energia e momento:
Note que para o próton eu usei a massa e para a partícula nova eu usei a massa . Bom, vimos no item (a) que para o próton, de modo que
Assim, do lado esquerdo da equação temos
Igualando com o lado direito:
Passo 5
Agora vamos olhar para o lado direito. A energia total será dada por
Basta somar a energia de repouso com a energia cinética. Assim,
Logo, a equação de conservação do momento fica
Com isso, temos nosso sistema:
Nossas incógnitas são e . Lembre-se que a primeira equação (obtida no passo 3) é a conservação da energia total e a segunda é a conservação do momento linear.
Passo 6
Resolver esse sistema não é a coisa mais fácil do mundo, mas vamos lá que eu te ajudo!
O primeiro passo é isolar na primeira equação:
Daí substituímos na segunda:
Vamos resolver essa equação de segundo grau na variável . PS: encare como se fosse um número conhecido:
Simplificando por :
Note que temos duas respostas possíveis. Qual escolher? A energia cinética deve ser positiva e , de modo que nos dois casos a energia cinética é positiva. Vamos usar as duas respostas por enquanto:
Com isso, podemos voltar para achar :
Usando a primeira resposta para :
A energia de repouso não pode ser negativa de jeito nenhum. Assim, devemos descartar . Usando :
Agora deu tudo lindo e maravilhoso 😊. Com isso, achamos que
Repare que a massa de repouso da partícula . De fato, , isso significa que parte cinética do próton foi convertida em energia de repouso para a nova partícula. Mas isso é assunto para o item (c).
Passo 7
Ainda não terminamos o item (b), pois só achamos a energia cinética, não a velocidade da partícula. Sabemos que
Assim,
Usando os resultados que achamos no problema:
Simplificando os e :
Logo,
Daí, é só usar a definição de :
Logo,
Portanto, a velocidade com que a partícula nova sai da colisão é
Agora sim o item (b) acabou! UFA!
Passo 8
Eu sei que já adiantei parte do item (c), mas vamos fazer ele mesmo assim...
Antes da colisão, a energia de repouso total (próton e partícula ) era
Depois da colisão, essa energia passou a ser
Portanto, houve um aumento da energia de repouso:
Isso significa que a energia cinética deve ter diminuído para que a energia de repouso aumentasse. Antes da colisão, a energia cinética era
Lembre-se que ela era o dobro da energia de repouso do próton. Já para a partícula formada após a colisão:
Vamos calcular a energia perdida:
Vemos que ela é exatamente igual a energia cinética perdida! Isso não deve ser nenhuma surpresa para gente né? A energia total deve se conservar, podemos converter energia cinética em energia de repouso e vice versa, mas a soma das duas deve permanecer sempre a mesma!
E com isso fechamos esse problema lindinho 😉.