Um fabricante de latas para conservas sabe que deve ajustar o equipamento que produz as latas se o valor médio do peso for maior ou igual ao peso relatado na lata, e que é de gramas. Para decidir sobre o que fazer, o fabricante obteve uma amostra de latas retiradas ao acaso do estoque produzido, pesou as latas e obteve um peso médio igual a gramas e um desvio padrão amostral igual a gramas. Sabe-se ainda, da história do processo e de testes efetuados, que o verdadeiro desvio padrão é de gramas.

Pede-se:

a) Especifique as hipóteses para conduzir um teste para a média com o intuito de encontrar a decisão que o fabricante deve tomar.

b) Qual é a estatística do teste (formulação) e a decisão do teste de hipótese aos níveis de significância se considerarmos o desvio padrão conhecido?

c) Qual é a estatística do teste (formulação) e a decisão do teste de hipótese aos níveis de significância admitindo que o desvio padrão é desconhecido?

Defina claramente sua hipótese. Mostre os resultados através do cálculo da estatística do teste. Esboce um gráfico da distribuição do teste indicando claramente a área de rejeição e aceitação de com os respectivos valores.

b) Em seguida, vamos calcular nossa estatística de teste para teste de hipótese da média.

Pois muito bem! Temos a seguinte fórmula:

Lembrando que aqui estamos considerando o desvio padrão conhecido, então usamos o desvio padrão populacional (o verdadeiro) que é igual a gramas.

Como (pois temos latas na amostra), (sempre é o valor que usamos para construir nossas hipóteses), e a média amostral encontrada foi , nosso fica:

Nosso ponto crítico no teste unilateral inferior é dado por:

Primeiramente, vamos testar para :

Olhando a tabela de distribuição normal, a seguir...

Podemos ver que...

Então nossa região crítica acaba englobando nossa estatística de teste:

E isso significa que rejeitamos a hipótese nula!

c) E por último, falta ver qual é a estatística do teste (formulação) e a decisão do teste de hipótese aos níveis de significância admitindo que o desvio padrão é desconhecido...

Se liga! A gente tem latas. Então, como , vamos usar a distribuição T-Student para tomar nossas decisões.

Bora calcular primeiramente nossa estatística de teste para teste de hipótese da média:

Lembrando que aqui estamos considerando o desvio padrão desconhecido... Logo, usamos o desvio padrão amostral que é igual a gramas. Como (pois temos latas na amostra), (sempre é o valor que usamos para construir nossas hipóteses), e a média amostral encontrada foi , nosso fica:

Nosso ponto crítico no teste unilateral inferior é dado por:

Então, vamos fazer o teste para :

E como vamos ter graus de liberdade. Procurando esse cara na tabela de Student, encontramos que...

Então nossa estatística de teste fica de novo, dentro da região crítica:

E isso significa que teremos que rejeitar a hipótese nula!

Pronto! Terminamos aqui!

Bora pra frente que atrás vem gente!