Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses para Média Populacional com σ Desconhecido
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Os seguintes dados foram coletados de uma população normal cuja média e variância são desconhecidas: 13, 10, 8, 11, 6, 7, 12, 5, 9
(a) Achar uma estimativa pontual da média e da variância da população
(b) Qual é o intervalo de confiança de 90% para a média da população?
(c) O intervalo de confiança de 95% para a média da população contém ou está contido no intervalo de confiança de 90%? Explique sua resposta. (d) Se for testada a hipótese : µ = 11 contra : µ 6= 11 ao nível de significância α = 10% que decisão será tomada?
Passo 1
(a) Para achar uma estimativa pontual para a média e variância, calculamos a média amostral e a variância amostral. Vamos lembrar das fórmulas:
; e
Onde denota a média amostral e a variância amostral.
Passo 2
Agora vamos aplicar as fórmulas aos dados:
Passo 3
(b) Observa que a gente não sabe a variância da população, a gente só tem uma estimativa, que foi dada no item (a). Logo, pra gente construir um intervalo de confiança de 90% a gente vai ter que usar a fórmula docom a t de Student com graus de liberdade.
Passo 4
Olhando na tabela, a gente encontra que A gente também tem que Substituindo todos os dados na nossa fórmula, temos:
Passo 5
(c) Essa é mais conceitual, e a ideia é a seguinte: se o número da amostra é fixo,um intervalo de 95% de confiança vai ser um intervalo maior do que um de 90% de confiança. Por quê? Pensa que se o intervalo é maior, você tem mais “confiança” de que seu parâmetro está lá (nesse caso a média da população). Assim, um intervalo de 95% de confiança contém um intervalo de 90% de confiança.
Passo 6
(d) A gente tem dois modos equivalentes de resolver esse exercício:
- Ou a gente constrói o centrado na média amostral e vê se o nosso parâmetro da hipótese nula (nesse caso, ) está nesse intervalo; ou
- A gente constrói o centrado no parâmetro da hipótese nula () e testa se nossa média amostral está nesse intervalo.
Do primeiro modo, o já foi construído no item anterior e é dado por . Como não pertence a esse intervalo, rejeitamos a hipótese nula!
Tem gente que está acostumada a fazer do segundo modo, então vamos fazer também:
Nesse caso, o é dado por
Agora a gente precisaria ver se nossa média amostral está nesse intervalo. Se não estiver, rejeitamos a hipótese nula. as observa que não está nesse intervalo! Então, de fato, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
(a) e
(b)
(c) Contém.
(d) Rejeitamos a hipótese nula