Exercícios Resolvidos de Transformações Lineares

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Enunciado

Dentre as transformações T : R 2 → R 2 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares:

c) T x , y = ( x 2 , y 2 )

Passo 1

Faaaaaaaala aí! Vamo que vamo para mais uma questão sobre Transformação Linear

Nesse exercício precisamos verificar se a transformação respeita as condições para serem uma T L . Vamos lembrar aqui quem são essas condições:

1   T u + v = T u + T v

2   T λ u = λ T u ,   ∀   λ ∈ R

Vamos começar então ;)

Passo 2

Para verificar se uma transformação é linear ou não, a gente sempre começa supondo dois vetores quaisquer:

u = x 1 ,   y 1 v = ( x 2 ,   y 2 )

Outra coisa importante de relembrar é que na soma de dois vetores a gente soma as componentes assim:

u + v = ( x 1 + x 2 ,   y 1 + y 2 )

Agora a gente já pode partir para a transformação do problema. Pela primeira condição, precisamos que:

    T x 1 + x 2 , y 1 + y 2 = T x 1 , y 1 + T x 2 , y 2

Vamos começar desenvolvendo o lado da direita da equação, lembrando que

T x , y = ( x 2 , y 2 )  

Então

T x 1 , y 1 = ( x 1 2 , y 1 2 )

T x 2 , y 2 = ( x 2 2 , y 2 2 )

A gente precisa somar essas duas transformações:

T x 1 , y 1 + T x 2 ,   y 2 = ( x 1 2 , y 1 2 ) + ( x 2 2 , y 2 2 )

Somando cada componente, ficamos com

T x 1 ,   y 1 + T ( x 2 ,   y 2 ) = ( x 1 2 + x 2 2 , y 1 2 + y 2 2 )

Beleza!! Agora a gente desenvolve o lado esquerdo da nossa equação. Lembrando de novo que

T x , y = ( x 2 , y 2 )  

Então, substituindo x por x 1 + x 2 e y   por y 1 + y 2

T x 1 + x 2 , y 1 + y 2 = ( x 1 + x 2 2 , y 1 + y 2 2 )

Fazendo a o produto notável, temos que:

T x 1 + x 2 , y 1 + y 2 = x 1 2 + 2 ⋅ x 1 ⋅ x 2 + x 2 2 , y 1 2 + 2 ⋅ y 1 ⋅ y 2 + y 2 2

Passo 3

Agora a gente tem que comparar os dois resultados e ver se são iguais:

T x 1 ,   y 1 + T ( x 2 ,   y 2 ) = ( x 1 2 + x 2 2 , y 1 2 + y 2 2 )

T x 1 + x 2 , y 1 + y 2 = x 1 2 + 2 ⋅ x 1 ⋅ x 2 + x 2 2 , y 1 2 + 2 ⋅ y 1 ⋅ y 2 + y 2 2

Opa, deu diferente! A gente consegue ver que:

T x 1 + x 2 , y 1 + y 2   ≠   T x 1 ,   y 1 + T ( x 2 ,   y 2 )

Como não atende a primeira condição, podemos afirmar que a transformação não é linear

Vamos continuar treinando para ficar fera!

Resposta

T x , y = ( x 2 , y 2 ) não é linear