Dentre as transformações definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares:

c)

Para verificar se uma transformação é linear ou não, a gente sempre começa supondo dois vetores quaisquer:

Outra coisa importante de relembrar é que na soma de dois vetores a gente soma as componentes assim:

Agora a gente já pode partir para a transformação do problema. Pela primeira condição, precisamos que:

Vamos começar desenvolvendo o lado da direita da equação, lembrando que

Então

A gente precisa somar essas duas transformações:

Somando cada componente, ficamos com

Beleza!! Agora a gente desenvolve o lado esquerdo da nossa equação. Lembrando de novo que

Então, substituindo por e por

Fazendo a o produto notável, temos que:

Agora a gente tem que comparar os dois resultados e ver se são iguais:

Opa, deu diferente! A gente consegue ver que:

Como não atende a primeira condição, podemos afirmar que a transformação não é linear

Vamos continuar treinando para ficar fera!