Determine se é uma transformação linear :
Passo 1
Opa, tudo bem? Vamo que vamo para mais uma questão sobre Transformação Linear
Nesse exercício precisamos verificar se a transformação respeita as condições para ser uma . Vamos lembrar aqui quem são essas condições:
Vamos começar então ;)
Passo 2
Para verificar se uma transformação é linear ou não, a gente sempre começa supondo dois vetores quaisquer:
Outra coisa importante de relembrar é que na soma de dois vetores a gente soma as componentes assim:
Agora a gente já pode partir para a transformação do problema. Pela primeira condição, precisamos que:
Vamos começar desenvolvendo o lado , lembrando que
Então
Precisamos calcular a soma dessas duas transformações:
Somando os vetores, ficamos com
Beleza, já temos um lado da primeira condição que devemos testar!
Desenvolvendo o lado , lembrando de novo que
Então, substituindo por e por
Fazendo a distributiva, temos que:
Passo 3
Agora a gente precisa ver se os dois lados que calculamos são iguais:
Opa!! Tanto a igualdade de cima quanto a de baixo conferem! Então ela é linear? Não!!
Temos que verificar a segunda condição antes de podermos afirmar algo.
Passo 4
Desenvolvendo o lado lembrando que
Então, substituindo por e por temos:
Desenvolvendo o lado lembrando de novo que
Temos então:
Colocando o vetor da nossa transformação, temos:
Fazendo a distributiva ficamos com:
Passo 5
Comparando e , temos que
Opa, igualzinho! Assim, podemos ver que .
Portanto, provamos que as duas condições da linearidade satisfazem a nossa transformação! Logo, podemos dizer que ela é uma transformação linear.
Resposta
é linear.