Exercícios Resolvidos de Transformações Lineares

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Enunciado

Determine se T é uma transformação linear T : R 2 → R 2 :

b   T x , y = ( x + 2 y , 0 )

Passo 1

Opa, tudo bem? Vamo que vamo para mais uma questão sobre Transformação Linear

Nesse exercício precisamos verificar se a transformação respeita as condições para ser uma T L . Vamos lembrar aqui quem são essas condições:

1   T u + v = T u + T v

2   T λ u = λ T u ,   ∀   λ ∈ R

Vamos começar então ;)

Passo 2

Para verificar se uma transformação é linear ou não, a gente sempre começa supondo dois vetores quaisquer:

u = x 1 ,   y 1 v = ( x 2 ,   y 2 )

Outra coisa importante de relembrar é que na soma de dois vetores a gente soma as componentes assim:

u + v = ( x 1 + x 2 ,   y 1 + y 2 )

Agora a gente já pode partir para a transformação do problema. Pela primeira condição, precisamos que:

I   T x 1 , y 1 + T x 2 , y 2 =   T x 1 + x 2 , y 1 + y 2   I I

Vamos começar desenvolvendo o lado I , lembrando que

T x , y = ( x + 2 y , 0 )  

Então

T x 1 , y 1 = ( x 1 + 2 y 1 , 0 )

T x 2 , y 2 = ( x 2 + 2 y 2 , 0 )

Precisamos calcular a soma dessas duas transformações:

T x 1 ,   y 1 + T x 2 ,   y 2 =   x 1 + 2 y 1 ,   0 + x 2 + 2 y 2 ,   0

Somando os vetores, ficamos com

T x 1 ,   y 1 + T x 2 ,   y 2 = x 1 + 2 y 1 + x 2 + 2 y 2 , 0

Beleza, já temos um lado da primeira condição que devemos testar!

Desenvolvendo o lado I I , lembrando de novo que

T x , y = ( x + 2 y , 0 )  

Então, substituindo x por x 1 + x 2 e y   por y 1 + y 2

T x 1 + x 2 , y 1 + y 2 = ( x 1 + x 2 + 2 ( y 1 + y 2 ) , 0 )

Fazendo a distributiva, temos que:

T x 1 + x 2 , y 1 + y 2 = x 1 + x 2 + 2 y 1 + 2 y 2 ,   0

Passo 3

Agora a gente precisa ver se os dois lados que calculamos são iguais:

T x 1 + x 2 , y 1 + y 2 = x 1 + x 2 + 2 y 1 + 2 y 2 ,   0 T x 1 ,   y 1 + T x 2 ,   y 2 = x 1 + 2 y 1 + x 2 + 2 y 2 , 0

Opa!! Tanto a igualdade de cima quanto a de baixo conferem! Então ela é linear? Não!!

Temos que verificar a segunda condição antes de podermos afirmar algo.

Passo 4

I I I   T λ x , λ y = λ T x , y   I V

Desenvolvendo o lado I I I lembrando que

T x , y = ( x + 2 y , 0 )  

Então, substituindo x por λ x e y   por λ y temos:

( I I I ) = λ x + 2 λ y , 0

Desenvolvendo o lado I V , lembrando de novo que

T x , y = x + 2 y , 0

Temos então:

λ T x , y

Colocando o vetor da nossa transformação, temos:

λ x + 2 y , 0

Fazendo a distributiva ficamos com:

I V = ( λ x + λ 2 y , 0 )

Passo 5

Comparando ( I I I ) e ( I V ) , temos que

λ x + 2 λ y , 0 = ( λ x + λ 2 y , 0 )

Opa, igualzinho! Assim, podemos ver que I I I = ( I V ) .

Portanto, provamos que as duas condições da linearidade satisfazem a nossa transformação! Logo, podemos dizer que ela é uma transformação linear.

Resposta

T x , y = x + 2 y , 0 é linear.