Exercícios Resolvidos de Transformações Lineares

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Enunciado

Seja T : R 3 → R 3 , linear dada por T x , y , z = ( 2 x + z , y , 0 ) determinar a imagem dos vetores pela transformação

  1. T 1 , - 1,2
  2. T 2,0 , 1

Passo 1

Opa, e aí! Vamo que vamo para mais uma questão de transformação linear!

Querides, a primeira Transformação Linear tem essa carinha aqui:

T x , y , z = 2 x + z , y , 0

É uma transformação R 3 → R 3

Passo 2

Show, já vimos a transformação linear, agora vamos começar com a opção i), a gente tem que nosso domínio é

v = ( 1 , - 1,2 )

E queremos saber a imagem, ou seja, a transformação

T ( 1 , - 1,2 ) =   ?

Show de bola, vamos então resolver isso daí!

Temos que

T x , y , z = 2 x + z , y , 0

E queremos

T ( 1 , - 1,2 )

Então o que vamos fazer é substituir onde tem x por 1 , onde tem y por - 1 e onde tem z por 2

Vamos lá então:

T ( 1 , - 1,2 ) = 2 ⋅ 1 + 2 , - 1 , 0

Vamos começar fazendo a multiplicação

T ( 1 , - 1,2 ) = 2 + 2 , - 1,0

Beleza, somando isso vamos ficar com:

T ( 1 , - 1,2 ) = 4 , - 1,0

Passo 3

Agora vamos para a ii) aqui temos que o domínio é

v = ( 2,0 , 1 )

E queremos saber a imagem, ou seja, a transformação

T ( 2,0 , 1 ) =   ?

Vamos fazer de forma análoga ao passo anterior!

Temos que

T x , y , z = 2 x + z , y , 0

E queremos

T 2,0 , 1

Então o que vamos fazer é substituir onde tem x por 2 , onde tem y por 0 e onde tem z por 1

Vamos lá então:

T 2,0 , 1 = 2 ⋅ 2 + 1 , 0 , 0

Vamos começar fazendo a multiplicação

T 2,0 , 1 = 4 + 1,0 , 0

Beleza, somando isso vamos ficar com:

T 2,0 , 1 = 5,0 , 0

Então a gente consegue ver que uma transformação pode ter infinitas imagens, depende do vetor que queremos analisar!

Resposta

  1. T ( 1 , - 1,2 ) = ( 4 , - 1,0 )
  2. T ( 2,0 , 1 ) = ( 5,0 , 0 )