A transformação é linear. Sabendo que e , determine
Passo 1
Faaaala aí, tudo certinho? Vamos pra cima de mais uma questão sobre Transformação Linear!
O enunciado dá pra gente a transformação de dois vetores
E
E pede pra gente a transformação de outro vetor
Show, como a transformação é linear (não precisamos provar porque o enunciado diz pra gente) vamos usar alguma propriedade das transformações lineares para conseguirmos usar esses resultados que o exercício nos deu em nosso favor!
Vamos fazer operações com os vetores que temos para achar o vetor que não conhecemos a transformação. Desse jeitinho aqui:
Fazendo a distributiva no lado esquerdo:
Mas pra que isso? Bom, como a transformação é linear vamos usar suas propriedades a nosso favor!! Olha só, a gente quer calcular certo? Se a gente usar essa combinação aqui de cima, olha só como isso vai ficar:
Beleza, não ajudou muito ainda né? Mas olha só, como é uma T.L. a gente tem essas propriedades aqui:
Se a gente aplicar a primeira propriedade em que a gente obteve ali, a gente fica com:
Se botarmos tanto o quanto o em evidência, temos
E usando a segunda propriedade de
Opa!!!!
A gente sabe que e então a nossa transformação fica com essa carinha aqui
Beleza!! Só precisamos achar quem é o e quem é o !
Passo 2
Show, voltando um pouco, nós conseguimos escrever que
Somando os vetores, temos que:
Isso dá um sisteminha pra gente, desse jeito aqui:
Opa, a primeira linha já entrega pra gente o valor de , entao temos que
Agora para achar só precisamos colocar o valor de na linha de baixo!
Passando pro outro lado, temos:
Show, achamos os valores de e !
Passo 3
Beleza agora vamos pegar esses coeficientes e substituir na expressão que a gente obteve para .
Substituindo os valores dos coeficientes, temos:
Fazendo as multiplicações, temos:
Belezinha??