Exercícios Resolvidos de Transformações Lineares

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Enunciado

A transformação F : R 2 → R é linear. Sabendo que F 1 , - 1 = 2 e F 0,1 = 3 , determine F ( - 5,0 )

Passo 1

Faaaala aí, tudo certinho? Vamos pra cima de mais uma questão sobre Transformação Linear!

O enunciado dá pra gente a transformação F de dois vetores

F 1 , - 1 = 2

E

F 0,1 = 3

E pede pra gente a transformação de outro vetor

F - 5,0 = ?

Show, como a transformação é linear (não precisamos provar porque o enunciado diz pra gente) vamos usar alguma propriedade das transformações lineares para conseguirmos usar esses resultados que o exercício nos deu em nosso favor!

Vamos fazer operações com os vetores que temos para achar o vetor que não conhecemos a transformação. Desse jeitinho aqui:

a 1 , - 1 + b 0,1 = ( - 5,0 )

Fazendo a distributiva no lado esquerdo:

a ,   - a + 0 ,   b = ( - 5 ,   0 )

Mas pra que isso? Bom, como a transformação é linear vamos usar suas propriedades a nosso favor!! Olha só, a gente quer calcular F ( - 5,0 ) certo? Se a gente usar essa combinação aqui de cima, olha só como isso vai ficar:

F - 5 ,   0 = F ( a ,   - a + ( 0 , b ) )

Beleza, não ajudou muito ainda né? Mas olha só, como F é uma T.L. a gente tem essas propriedades aqui:

F u + v = F u + F v F λ u = λ F u , ∀   λ ∈   R

Se a gente aplicar a primeira propriedade em F ( - 5 ,   0 ) que a gente obteve ali, a gente fica com:

F - 5 ,   0 = F a , - a + F ( 0 , b )

Se botarmos tanto o a quanto o b em evidência, temos

F - 5 ,   0 = F a ( 1 , - 1 ) + F ( b 0 , 1 )

E usando a segunda propriedade de F

F - 5,0 = a . F 1 , - 1 + b . F ( 0,1 )

Opa!!!!

A gente sabe que F 1 , - 1 = 2 e F 0,1 = 3 então a nossa transformação fica com essa carinha aqui

F - 5,0 = a . 2 + b . 3

Beleza!! Só precisamos achar quem é o a e quem é o b !

Passo 2

Show, voltando um pouco, nós conseguimos escrever que

a , - a + 0 , b = - 5,0

Somando os vetores, temos que:

a , - a + b = - 5,0

Isso dá um sisteminha pra gente, desse jeito aqui:

a = - 5 - a + b = 0

Opa, a primeira linha já entrega pra gente o valor de a , entao temos que

a = - 5

Agora para achar b só precisamos colocar o valor de a na linha de baixo! - - 5 + b = 0

5 + b = 0

Passando 5 pro outro lado, temos:

b = - 5

Show, achamos os valores de a e b !

Passo 3

Beleza agora vamos pegar esses coeficientes e substituir na expressão que a gente obteve para F ( - 5,0 ) .

F - 5,0 = a ⋅ 2 + b ⋅ 3

Substituindo os valores dos coeficientes, temos:

F - 5,0 = - 5 ⋅ 2 + ( - 5 ) ⋅ 3

Fazendo as multiplicações, temos:

F - 5,0 = - 10 - 15

F - 5,0 = - 25

Belezinha??

Resposta

F - 5,0 = - 25