Exercícios Resolvidos de Álgebra linear e Autovalores

Enunciado

Ache autovalores e autovetores, se possível:

Passo 1

Vamos achar os autovalores, primeiro, para isso, calculamos o polinômio característico:

Você pode saber, lá da álgebra linear, que o determinante dessa matriz será: , por ela ser uma matriz diagonal. Mas, caso não saiba disso, sem problemas! Vamos calcular esse determinante. Primeiro, aumentamos a matriz repetindo as duas primeiras colunas:

Agora, vamos pegar o produto das diagonais que vêm da esquerda para a direita e somar:

Agora, vamos pegar o produto das diagonais que vêm da direita para a esquerda e somar:

E, por último, fazer a primeira menos a segunda:

Então:

Passo 2

Tendo o polinômio característico, , os autovalores serão as raízes desse polinômio. Então:

Como o polinômio já está fatorado. As raízes serão:

Passo 3

Agora, vamos achar os autovetores, usando:

Para cada autovalor que achamos no passo anterior.

Para e :

Dessa forma, fazendo a multiplicação das matrizes:

Logo, para todo e pertencente aos reais.

E o autovetor associado ao autovalor é:

, para qualquer valor de e pertencente aos reais.

Passo 4

Para o autovalor :

Dessa forma, fazendo a multiplicação das matrizes:

Resolvendo esse sistema:

, para todos os valores de pertencente aos reais.

E o autorvetor associado ao autovalor é:

, para qualquer valor de pertencente aos reais.

Resposta

Autovalores:

Autovetores:

, para qualquer valor de e pertencente aos reais.

, para qualquer valor de pertencente aos reais.

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