Exercícios Resolvidos de Análise de Circuitos Trifásicos Desequilibrados

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Enunciado

Encontre as tensões de fase na carga para o sistema abaixo com fonte trifásica equilibrada e carga desequilibrada com:

Z A = 79 + j 56   Ω

Z B = 39 + j 26   Ω

Z C = 159 + j 116   Ω

As impedâncias de cada linha são iguais e valem Z l = 1 + j 4   Ω e a impedância do neutro é Z N = 10   Ω . Suponha que a sequência é a b c e V a n = 120 ∠ 0 °   V .

Passo 1

Esse circuito nada mais é do que um circuito Y - Y com o neutro da carga aterrado por uma impedância. Temos que tomar cuidado porque temos que considerar a impedância da linha também. Vamos redesenhá-lo para a forma que conhecemos:

Como a sequência da fonte trifásica equilibrada é a b c , temos:

V a n = 120 ∠ 0 °   V

V b n = 120 ∠ - 120 °   V

V c n = 120 ∠ 120 °   V

Passo 2

Nesse circuito o neutro da carga não está diretamente ligado à terra. Ele está ligado a um resistor que está conectado à terra. Então, é como se existisse uma resistência entre o neutro da fonte ( n ) e o neutro da carga ( N ) .

Além disso, devido à presença desse resistor, temos que considerar a tensão V N entre o neutro da carga ( N ) e a terra.

Onde:

Z l + Z A = 1 + j 4 + ( 79 + j 56 )

Z l + Z A = 80 + j 60   Ω

Z l + Z A = 100 ∠ 36,87 °   Ω

Z l + Z B = 1 + j 4 + ( 39 + j 26 )

Z l + Z B = 40 + j 30   Ω

Z l + Z B = 50 ∠ 36,87 °   Ω

Z l + Z C = 1 + j 4 + ( 159 + j 116 )

Z l + Z C = 160 + j 120   Ω

Z l + Z C = 200 ∠ 36,87 °   Ω

Passo 3

Aplicando a LCK ao nó da carga, temos:

I N = I a + I b + I c

Agora vamos escrever as correntes em função das tensões:

I a = V a n - V N Z l + Z A

I b = V b n - V N Z l + Z B

I c = V c n - V N Z l + Z C

I N = V N Z N

Substituindo na equação nodal para determinarmos a tensão V N , temos:

V N Z N = V a n - V N Z l + Z A + V b n - V N Z l + Z B + V c n - V N Z l + Z C

V N 10 = 120 ∠ 0 ° - V N 100 ∠ 36,87 ° + 120 ∠ - 120 ° - V N 50 ∠ 36,87 ° + 120 ∠ 120 ° - V N 200 ∠ 36,87 °

0,1 V N = 1,2 ∠ - 36,87 ° - 0,01 ∠ - 36,87 ° V N + 2,4 ∠ - 156,87 ° - ( 0,02 ∠ - 36,87 ° ) V N + 0,6 ∠ 83,13 ° - ( 0,005 ∠ - 36,87 ° ) V N

0,1 V N = 1,2 ∠ - 36,87 ° + 2,4 ∠ - 156,87 ° + 0,6 ∠ 83,13 ° - ( 0,035 ∠ - 36,87 ° ) V N

0,1 V N + ( 0,035 ∠ - 36,87 ° ) V N = 0,96 - j 0,72 - 2,21 - j 0,943 + 0,072 + j 0,596

( 0,1 + 0,028 - j 0,021 ) V N = - 1,18 - j 1,07

( 0,128 - j 0,021 ) V N = 1,59 ∠ - 137,76 °

V N = 1,59 ∠ - 137,76 ° 0,128 - j 0,021

V N = 1,59 ∠ - 137,76 ° 0,130 ∠ - 9,32 °

V N = 12,23 ∠ - 128,44 °   V

Passo 4

Agora que temos a tensão entre os neutros, vamos calcular as correntes de linha:

I a = V a n - V N Z l + Z A

I a = 120 ∠ 0 °   - 12,23 ∠ - 128,44 ° 100 ∠ 36,87 °

I a = 127,96 ∠ 4,29 ° 100 ∠ 36,87 °

I a = 1,28 ∠ - 32,58 °   A

I b = V b n - V N Z l + Z B

I b = 120 ∠ - 120 ° - 12,23 ∠ - 128,44 ° 50 ∠ 36,87 °

I b = 107,92 ∠ - 119,05 ° 50 ∠ 36,87 °

I b = 2,16 ∠ - 155,92 °   A

I c = V c n - V N Z l + Z C

I c = 120 ∠ 120 ° - 12,23 ∠ - 128,44 ° 200 ∠ 36,87 °

I c = 125,01 ∠ 114,78 ° 200 ∠ 36,87 °

I c = 0,625 ∠ 77,91 °   A

Passo 5

Agora, finalmente podemos calcular as tensões de fase na carga. Para a fase A , temos:

V A N = I a Z A

V A N = ( 1,28 ∠ - 32,58 ° ) ( 79 + j 56 )

V A N = 1,28 ∠ - 32,58 ° 96,83 ∠ 35,33 °

V A N = 123,94 ∠ 2,75 °   V

Para fase B :

V B N = I b Z B

V B N = ( 2,16 ∠ - 155,92 °   ) ( 39 + j 26 )

V B N = 2,16 ∠ - 155,92 °   46,87 ∠ 33 , 69 °

V B N = 101,24 ∠ - 122,23 °   V

Para fase C :

V C N = I c Z C

V C N = ( 0,625 ∠ 77,91 ° ) ( 159 + j 116 )

V C N = ( 0,625 ∠ 77,91 ° ) ( 196,82 ∠ 36,11 ° )

V C N = 123,01 ∠ 114,02 °   V

Resposta

V A N = 123,94 ∠ 2,75 °   V

V B N = 101,24 ∠ 89,23 °   V

V C N = 123,01 ∠ 114,02 °   V

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