Calcule a área da região limitada pelo eixo e pelo gráfico de , para
Passo 1
É o seguinte, eu não vou nem esboçar esse gráfico por que eu não faço ideia dos detalhes dele.
Juro, não faço ideia de como fica um polinômio do primeiro grau multiplicado a uma exponencial.
Agora, Eu sei que se ele for um gráfico positivo no intervalo pedido , então sua área será dada por:
Caso seja negativo, será o oposto:
Agora, independente de como seja o gráfico, sei que ele só tem uma raiz, justamente em pois o polinômio ali zeraria. Como exponencial é sempre positiva e o é positivo no intervalo podemos dizer que a área será dada pela primeira integral que coloquei. Agora, ele não tem limite superior, né? Bom, isso significa que teremos de usar uma integral imprópria. Vai ser
Temos que fazer o limite,
Passo 2
Agora, para facilitar a análise eu vou primeiro integrar e depois usar os limites, ok?
Integral por partes, né? Pelo LIATE nosso será :
Passo 3
Agora podemos aplicar os limites de integração, lembrando que se trata de uma integral imprópria:
Para esse limite podemos usar L’Hospital:
Assim, temos a resposta: