Considere a região dada por
Determine, se possível, a área de .
Discuta a convergência da integral
Passo 1
Para resolver a maioria das questões nós começamos esboçando o gráfico dado para então calcular a área gerada por ele. Acontece que nessa questão isso não é necessário, uma vez que basta sabermos algumas características da região para já saber como ficará a nossa integral.
Vamos pensar: trabalhamos numa região onde e que fica entre e . Acontece que essa curva, o será sempre positivo, já que é produto de duas funções positivas para qualquer . Com isso, a gente sabe que a área será a integração dessa curva de até o limite máximo que assume. Ué, mas não está limitado na região. Bom, isso só pode significar uma coisa: o limite de integração superior é .
Assim, a conclusão é essa função aqui:
Vamos fazer esse cara pela integração por partes.
Passo 2
Vamos chamar pelo LIATE o termo algébrico (polinômio) de e o resto de .
Vamos resolver essa outra integral para depois voltar para cá.
Passo 3
Caímos em outra integral com polinômio e exponencial, novamente vamos usar integração por partes e novamente usamos o LIATE com o sendo o novo
Vamos voltar à expressão inicial e substituir essa integral:
Passo 4
Para substituir os limites a gente precisa tomar cuidado, já que essa é uma integral imprópria:
Esse termo do limite que sobrou gera indeterminação do tipo , então podemos usar L’Hospital até que essa indeterminação não seja mais gerada:
Portanto,
Passo 5
Olha para essa integral que foi pedida:
O cara pergunta se essa integral aí vai convergir. Bom, a função que ele está integrando é basicamente a mesma da qual calculamos a área, com o detalhe desse . Como a gente viu, para esses mesmo limites de integração, a integral convergiu antes. Ora, como por definição será sempre menor ou igual a , a gente conclui que:
Com isso, pelo teorema da comparação, vemos que a integral do item também vai convergir!