Considere as funções
- Determine as equações das retas assíntotas verticais do gráfico de , caso existam
- Considere . Determine a equação da reta assíntota horizontal do gráfico de , caso exista
- Considere . Determine a equação da reta assíntota oblíqua do gráfico de , caso exista
Passo 1
Fala galera. Bora começar. É uma questão só de assíntotas, mas de gráficos diferentes. De início, vamos lembrar que assíntotas verticais só existem se pelo menos um dos limites laterais, pra tendendo a um ponto que de problema, explodir pra algum infinito. Como:
Os pontos que dão problema s��o e que são os que zeram o denominador! Começando com , temos:
Show, achamos uma assíntota. Agora, se fizermos pro outro valor de :
Como isso ai é uma indeterminação, vamos ter que nos livrar dela. Uma forma de livrar é fazendo Regra de L’Hospital. Então derivando em cima e em baixo:
É galera, aqui não explodiu! Então temos somente que é única assíntota vertical de
Passo 2
Agora vamos mudar o clima e falar das assíntotas horizontais. Mas de , então mudou a função também. Pra essas, a gente faz os limites pros infinitos e espera achar um número. Se não acharmos, sem assíntota! Então:
Dois dos três limites acima dão número, mas o outro da infinito!
Então não rola assíntota horizontal nesse caso
Passo 3
Olha, pode até não ter assíntota horizontal, mas será que tem oblíqua? Bem, como não da pra ter os dois ao mesmo tempo, ta valendo o teste! A equação da assíntota oblíqua é dada por:
Onde:
Fazendo pra , temos:
E já vimos esse resultado em! Ficamos com . Agora pra achar :
Colocando termos de em evidência:
Ok, ainda tem um limite pra calcular. Nota que:
Ou seja, esse limite dá uma indeterminação! Precisamos nos livrar dela. Pra isso, se reescrevermos:
Apesar de não sumirmos com a indeterminação, pelo menos mudamos o tipo! E mudar o tipo pra é bom porque agora da pra usar L’Hospital! Vamos ter:
E fechamos!
A equação da assíntota será:
Resposta
- é única assíntota vertical de
- Sem assíntotas verticais para
- possui a assíntota oblíqua