- Determine TODAS as equações das assíntotas da curva
Passo 1
Então, se o problema nos pediu todas as assíntotas possíveis, precisamos primeiro de tudo saber quais são todos os tipos possíveis de assíntotas que temos.
A primeira delas, é a horizontal, podemos ter as oblíquas e por último as verticais, se lembra?
Então vamos verificar para cada uma delas!
Passo 2
Vamos começar com as horizontais.
Para a gente encontrar esse tipo de assíntota, a gente tem que verificar um limite, ou melhor dois: o limite da função nos dois infinitos (o positivo e o negativo)
então o positivo é
Como temos um caso de , podemos aplicar L’Hopital
derivando
Esse limite vai para o infinito positivo!
Olhando agora o lado negativo da história
Logo, não tem assíntotas horizontais, percebeu?
Passo 3
Vamos procurar agora as oblíquas.
Para verificar esse tipo de assíntota, devemos fazer uma continha muito parecida com a de cima, porém, devemos agora calcular o limite de
e também o esse limite, mas com o indo para o infinito negativo
Se ambos derem algum resultado, então é porque existe assíntota oblíqua.
Passo 4
então vamos lá
Aplicando hospital novamente
Epa! deu resultado! então é porquê existe assíntota obliqua!
Passo 5
Já que existe assíntota obliqua, quem é ela?
Bem, ela é uma reta, certo? e como reta (), ela possui o coeficiente angular , que vale exatamente o limite de cima
E quem é o ?
Bem, para isso, fazemos de acordo com a teoria...
Para calcular esse limite, primeiro vamos unir essas duas frações
simplificando esse parênteses em cima e em baixo
Aplicando
Logo
a primeira assíntota obliqua é
Passo 6
EPA! Calculamos uma assíntota obliqua para o lado positivo, mas e para o lado negativo, como vimos no passo 3
como já vimos, aplicando
Chagamos exatamente no mesmo valor de , mas isso não significa que a outra assíntota obliqua será a mesma, por isso deveríamos calcular o
UÉ! Mas deveríamos porque?
Porque se você notar bem, no calculo de ele deu o mesmo valor por que quando aplicamos o L’hopital, chagamos em um limite que não dependia de
e o mesmo acontece para o
percebeu? Quando isso acontecer, cara, ganha tempo na sua prova: só existe uma assíntota oblíqua! e já vimo que ela é
Passo 7
Mas não acabamos ainda! Falta verificar se essa função tem assíntotas horizontais.
A primeira coisa que devemos averiguar aqui é se ela tem algum ponto problemático, ou seja
note que o denominador não pode zerar, então o ponto de problema é quando o denomidor zera
Então esse é um possível ponto de assíntota vertical. Vamos verificar se é mesmo?
Passo 8
Para verificar isso... sim, limite
Observe que nesse limite, o nominador vai para um número, mais especificamente
e o denominador a zero, portanto o limite está indo para algum infinito (não interessa muito qual é aqui não)
o mesmo vale se fizermos o limite pelo lado esquerdo
Logo, esse ponto
é sim uma assíntota vertical, percebeu?