Esboço de Curvas
Seja . Determine todas as assíntotas de .
Passo 1
Procuramos por assíntotas de todos os tipos. Primeiro, vamos analisar o domínio. O numerador é constituído por que é contínuo para todo . Já no denominador temos uma equação que tem que ser diferente de . Calculando, achamos um valor de que a função não pode assumir:
Ou seja, o domínio da função é o conjunto dos reais menos esse ponto: .
Para determinar assíntotas verticais nós temos que procurar aonde a função não está definida, descontinuidades do domínio. O único ponto onde isso pode acontecer é justamente onde temos :
Passo 2
Procuramos agora assíntotas verticais. Para isso, vamos jogar nosso limite para e .
Ora, arco tangente é uma função que tem a imagem definida entre . No caso, assim como temos:
Da mesma forma, pelo mesmo raciocínio, acharemos:
Assim, calculando os limites de quando e quando temos:
Concluímos, temos duas assíntotas horizontais, uma em e outra em .
Passo 3
Como temos assíntotas horizontais para e para , percebemos que não existem assíntotas oblíquas.