Dado uma esfera condutora de raio e carga envolta por uma casca esférica condutora neutra de raios interno e externo iguais a e . Dado que o potencial no infinito é nulo, calcule o potencial em cada região:

Além disso, pela configuração do campo, temos que o seu módulo é constante em toda , do que segue o fato:

Da última equação, segue que a integral de em toda é a área da Gaussiana. A área superficial de uma esfera é conhecida e é igual à:

Substituindo na Lei, temos:

Vamos matar todas as regiões então. Na região , temos a parte maciça de um condutor, portanto:

Na parte de estamos fora da esfera, logo a carga total é :

Na parte em que estamos dentro da casca esférica. Só que como ela é condutora, não temos campo:

Já na região é só ver o quanto de carga total nós temos, que no caso é só proveniente da esfera:

Portanto:

Agora vamos fazer a conta partindo de um lugar cujo potencial nós conhecemos. No caso o enunciado nos deu o potencial no infinito, então vamos começar nosso caminho partindo de lá para algum ponto em que :

Plugando o campo correspondente à região na equação:

Que resulta em:

Ou seja, mesma coisa que a carga pontual.

Agora vamos partir para a região , que tem outra expressão do campo elétrico. A parada é partirmos de um ponto onde conhecemos o potencial, mas como obtivemos a expressão do potencial no passo anterior, podemos usá-la.

CUIDADO com os limites de integração! Plugando o campo e o potencial conhecidos:

Fazendo:

Logo:

Partindo agora de um ponto na superfície em que vamos para a região . O potencial nesse ponto é só substituir na expressão encontrada anteriormente, ou perceber que não depende de :

Logo, integramos novamente:

Mesma coisa, só que agora partindo da superfície , e vamos para :