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Exercícios Resolvidos de Cálculo do Potencial a partir do Campo Elétrico

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Exercício 21345678910

Enunciado

Uma esfera condutora de raio a e com carga Q é envolta por uma camada esférica isolante de raio interno a e externo 2 a com densidade de carga volumétrica ρ = 3 Q / ( 4 π a 3 ) constante.

a ) Determine o vetor campo elétrico em todo o espaço;

b ) Determine o potencial elétrico em todo o espaço. Adote potencial nulo no infinito;

Passo 1

a ) Determine o vetor campo elétrico em todo o espaço;

É aquele esquema... viu uma esfera e o cara te pediu o campo elétrico, você pensa logo em Lei de Gauss:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

A partir da simetria esférica do problema, já podemos concluir algumas coisas... a primeira delas é que podemos simplificar a Le ide Gauss para:

E 4 π r 2 = Q i n t ϵ 0

E = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2

Outra coisa é que, por causa da sua simetria, o campo elétrico estará sempre na direção radial, logo:

E → = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2   r ^

Assim, para qualquer região, teremos apenas que calcular a carga interna Q i n t e substituir na expressão acima.

Passo 2

  • r < a

    • Essa região engloba a parte interna da esfera. Como a esfera é condutora, toda a sua carga Q encontra-se na superfície r = a , logo, quando r < a

    Q i n t = 0

    E → = 0

  • a < r < 2 a

    • Essa região engloba a esfera e parte da casca isolante. Assim, a carga interna aqui será a soma da carga da esfera com a carga de parte da casca esférica.

    Q i n t = Q + Q c a s c a

    Para determinar a carga de parte da casca esférica, basta usar a densidade volumétrica de carga:

    ρ = Q c a s c a V o l = Q c a s c a 4 π r 3 - a 3 3  

    3 Q 4 π a 3 = Q c a s c a 4 π r 3 - a 3 3

    Q c a s c a = 3 Q 4 π a 3 4 π r 3 - a 3 3 = Q r 3 - a 3 a 3  

    Q c a s c a = Q r 3 a 3 - 1  

    Portanto, a carga interna total será:

    Q i n t = Q + Q r 3 a 3 - 1

    Q i n t = Q r 3 a 3

    Agora é só substituir na equação do campo elétrico:

    E → = Q r 3 a 3 1 4 π ϵ 0 r 2   r ^

    E → = Q r 4 π ϵ 0 a 3   r ^

    Essas regiões intermediárias costumam dar mais trabalho mesmo... relaxa, o resto costuma ser um pouco mais tranquilo.

  • r > 2 a

    • Essa região engloba a coisa toda. Tínhamos encontrado a seguinte expressão para a carga interna no tópico acima:

    Q i n t = Q r 3 a 3

    A pra calcular a carga interna, basta usar r = 2 a :

    Q i n t = Q 2 a 3 a 3

    Q i n t = 8 Q

    Agora é só alegria:

    E → = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2   r ^

    E → = 8 Q 4 π ϵ 0 r 2   r ^

    E → = 2 Q π ϵ 0 r 2   r ^

    Passo 3

    b ) Determine o potencial elétrico em todo o espaço. Adote potencial nulo no infinito;

    Por definição, o potencia elétrico é dado por:

    V = - ∫ ∞ r E → ∙ d r →

    Como tanto E → quanto d r → estão na direção radial, podemos simplesmente escrever:

    V = - ∫ ∞ r E r   d r

    Então agora o esquema é aplicar isso pra cada região, partindo do infinito. A ideia é sempre começar do infinito até a maior região e, a partir disso, ir usando os resultados anteriores para calcular os potenciais das próximas regiões.

    Se liga:

  • r > 2 a

    • E r = 2 Q π ϵ 0 r 2

    V 1 = - ∫ ∞ r 2 Q π ϵ 0 r 2   d r = - 2 Q π ϵ 0 ∫ ∞ r d r r 2 = 2 Q π ϵ 0 1 r ∞ r

    V 1 = 2 Q π ϵ 0 r

  • a < r < 2 a

    • E r = Q r 4 π ϵ 0 a 3

    V 2 = V 1 - ∫ 2 a r Q r 4 π ϵ 0 a 3   d r

    Aqui vamos usar V 1 para o caso em que r = 2 a .

    V 2 = V 1 - Q 4 π ϵ 0 a 3   r 2 2 2 a r

    V 2 = 2 Q π ϵ 0 r r = 2 a - Q 8 π ϵ 0 a 3 r 2 - 4 a 2

    V 2 = Q π ϵ 0 a - Q r 2 8 π ϵ 0 a 3 + 4 Q a 2 8 π ϵ 0 a 3

    V 2 = Q π ϵ 0 a - Q r 2 8 π ϵ 0 a 3 + Q 2 π ϵ 0 a

    V 2 = 3 Q 2 π ϵ 0 a - Q r 2 8 π ϵ 0 a 3

    V 2 = Q 2 π ϵ 0 a 3 - r 2 4 a 2

    V 2 = 3 Q 2 π ϵ 0 a 1 - r 2 12 a 2

  • r < a

    • E r = 0

    V 3 = V 2

    Aqui usamos V 2 para o caso em que r = a , logo:

    V 3 = 3 Q 2 π ϵ 0 a 1 - r 2 12 a 2 r = a

    V 3 = 3 Q 2 π ϵ 0 a 1 - a 2 12 a 2 = 3 Q 2 π ϵ 0 a 1 - 1 12

    V 3 = 3 Q 2 π ϵ 0 a 11 12

    V 3 = 11 Q 8 π ϵ 0 a

    Resposta

    a )

  • r < a

    • E → = 0

  • a < r < 2 a

    • E → = Q r 4 π ϵ 0 a 3   r ^

  • r > 2 a

    • E → = 2 Q π ϵ 0 r 2   r ^

    b )

  • r > 2 a

    • V 1 r = 2 Q π ϵ 0 r

  • a < r < 2 a

    • V 2 r = 3 Q 2 π ϵ 0 a 1 - r 2 12 a 2

  • r < a

V 3 r = 11 Q 8 π ϵ 0 a

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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